§ 21. Консервативные силы

Если частица в каждой точке пространства подвержена воздействию других тел, то говорят, что эта частица находится в поле сил. Так, например, частица вблизи поверхности Земли находится в поле сил тяжести — в каждой точке пространства на нее действует сила

В качестве второго примера рассмотрим заряженную частицу , находящуюся в электрическом поле, возбуждаемом неподвижным точечным зарядом q (рис. 21.1).

Рис. 21.1.

Рис. 21.2.

Это поле характерно тем, что направление силы, действующей на частицу в любой точке пространства, проходит через неподвижный центр (заряд ), а величина силы зависит только от расстояния до этого центра: (см. формулу (13.1)).

Поле сил, обладающее такими свойствами, называется центральным.

Если во всех точках поля силы, действующие на частицу, одинаковы по величине и направлению (F=const), поле называется однородным.

Поле, изменяющееся со временем, называется нестационарным. Поле, остающееся постоянным во времени, называют стационарным.

Для стационарного поля может оказаться, что работа, совершаемая над частицей силами поля, зависит лишь от начального и конечгного положений частицы и не зависит от пути, по которому двигалась частица. Силы, обладающие таким свойством, называются консервативными.

Из независимости работы консервативных сил от пути вытекает, что работа таких сил на замкнутом пути равна нулю. Чтобы доказать это, разобьем произвольный замкнутый путь, на две части: путь , по которому частица переходит из точки 1 в точку 2, и путь по которому тело, переходит из точки 2 в точку 1, причем точки 1 и 2 выберем произвольно (рис. 21.2). Работа на всем замкнутом пути равна сумме работ, совершаемых на каждом из участков:

Легко сообразить, что работы отличаются только знаком. Действительно, изменение направления движения на обратное приводит к замене на вследствие чего значение интеграла изменяет знак на обратный. Таким образом, равенство (21.1) можно записать в виде

и, поскольку работа не зависит от пути, т. е. , мы приходим к выводу, что А=0.

Из равенства нулю работы на замкнутом пути легко получить, что работа не зависит от пути. Это можно сделать, обратив ход проведенных выше рассуждений.

Таким образом, консервативные силы можно определить двумя способами:

1) как силы, работа которых не зависит от пути, по которому частица переходит из одного положения в другое;

2) как силы, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю.

Докажем, что сила тяжести является консервативной. Эта сила в любой точке имеет одинаковую величину и одинаковое направление — вниз по вертикали (рис. 21.3).

Поэтому, независимо от того, по какому из путей (например, или см. рисунок) движется частица, работа согласно (20.8) определяется выражением

Из рис. 21.3 видно, что проекция вектора на направление g равна разности высот Следовательно, выражение для работы можно написать в виде

Последнее выражение, очевидно, не зависит от пути; отсюда следует, что сила тяжести консервативна.

Легко сообразить, что такой же результат получается для всякого стационарного однородного поля.

Рис. 21.3.

Рис. 21.4а

Силы, действующие на частицу в центральном поле, также консервативны. Согласно формуле (20.7) элементарная работа на пути (рис. 21.4) равна

Но проекция на направление силы в данном месте, т. е. на направление радиуса-вектора , равна — приращению расстояния частицы от силового центра О: Поэтому а работа на всем пути

Последнее выражение зависит только от вида функции и от значений и . От вида траектории оно никак не зависит, откуда следует, что силы консервативны.

Чтобы у читателя не возникло ошибочное представление, будто любая сила, зависящая только от координат точки, является консервативной, рассмотрим следующий пример. Пусть компоненты силы определяются формулами

Эта сила имеет модуль, равный и направлена по касательной к окружности радиуса (рис. 21.5). Действительно, как следует из рисунка, для силы такой величины и направления

что срвпадает со значениями (21.4). Возьмем замкнутый путь в виде окружности радиуса с центром в начале координат. Работа силы на этом пути, очевидно, равна т. е. отлична от нуля. Следовательно, сила неконсервативна.

Типичными нёконсервативными силами являются силы трения.

Так как сила трения F и скорость частицы v имеют противоположные направления, работа силы трения на каждом участке пути отрицательна:

Поэтому будет отрицательной (т. е. отличной от нуля) и работа на любом замкнутом пути. Отсюда вытекает, что силы трения не консервативны.

Отметим, что поле консервативных сил является частным случаем потенциального силового поля. Поле сил называется потенциальным, если его можно описать с помощью функции П(х, у, z, t), градиент которой (см. следующий параграф, формулу (22.6)) определяет силу в каждой точке поля: (ср. с. (22.7)). Функция П называется потенциальной функцией или потенциалом. В Случае, когда потенциал не зависит явно от времени, т. е. , потенциальное поле оказывается стационарным, а его силы — консервативными. В этом случае

где — потенциальная энергия частицы (см. следующий параграф).

Для нестационарного силового поля, описываемого потенциалом , отождествлять потенциальные и консервативные силы нельзя.

Рис. 21.5.