§ 22. Потенциальная энергия во внешнем поле сил

В случае когда работа сил поля не зависит от пути, а зависит лишь от начального и конечного положений частицы, каждой точке поля можно сопоставить значение некоторой функции такой, что разность значений этой функции в точках будет определять работу сил при переходе частицы из первой точки во вторую:

Это сопоставление можно осуществить следующим образом. Некоторой исходной точке О припишем произвольное значение функции, равное . Любой другой точке Р припишем значение

где — работа, совершаемая над частицей консервативными силами при перемещении частицы из точки Р в точку О. Поскольку работа не зависит от пути, определенное таким способом значение U(Р) будет однозначным. Отметим, что функйия U(Р) имеет размерность работы (или энергии).

В соответствии с (22.2) значения функции в точках 1 и 2 равны

Образуем разность этих значений и примем во внимание, что (см. предыдущий параграф). В результате получим

Сумма дает работу, совершаемую силами поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 по траектории, проходящей через точку О. Однако работа, совершаемая над частицей при ее перемещении из точки 1 в точку 2 по любой другой траектории (в том числе и не проходящей через точку О), будет такой же самой. Поэтому сумму можно написать просто в виде . В итоге получится соотношение (22.1).

Таким образом, с помощью функции U можно определять работу, совершаемую над частицей консервативными силами на любом пути, начинающемся в произвольной точке 1 и заканчивающемся в произвольной точке 2.

Пусть на частицу действуют только консервативные силы. Тогда работа, совершаемая над частицей на пути 1—2, может быть представлена в виде (22.1). Согласно формуле (19.11) эта работа идет на приращение кинетической энергии частицы. Таким образом, мы приходим к равенству

на которого следует, что

Полученный результат означает, что величина

для частицы, находящейся в поле консервативных сил, остается постоянной, т. е. является интегралом движения.

Из (22.3) следует, что U входит слагаемым в интеграл движения, имеющий размерность энергии. В связи с этим функцию называют потенциальной энергией частицы во внешнем поле сил. Величину Е, равную сумме кинетической и потенциальной энергий, называют полной механической энергией частицы.

В соответствии с (22.1) работа, совершаемая над частицей консервативными силами, равна убыли потенциальной энергии частицы. Иначе можно сказать, что работа совершается за счет запаса потенциальной энергии.

Из (22.2) вытекает, что потенциальная энергия оказывается определенной с точностью до некоторой неизвестной аддитивной постоянной Однако это обстоятельство не имеет никакого значения, так как во все физические соотношения входит либо разность значений U в двух положениях тела, либо производная функции U по координатам. Практически условливаются считать потенциальную энергию тела в каком-то положении равной нулю, а энергию в других положениях брать по отношению к этой энергии.

Зная вид функции , можно найти силу, действующую на частицу в каждойточке поля. Рассмотрим перемещение частицы параллельно оси х на Такое перемещение сопровождается совершением над частицей работы, равной (компоненты перемещения равны нулю). Согласно (22.1) та же работа может быть представлена как убыль потенциальной энергии: . Приравняв оба выражения для работы, получим, что

Отсюда

Выражение, стоящее справа, представляет собой производную функции , вычисленную в предположении, что переменные остаются неизменными, а изменяется лишь переменная Подобные производные называются частными и обозначаются, в отличие от производных функций одной переменной, символом . Следовательно, компонента силы по оси равна взятой с обратным знаком частной производной потенциальной энергии по переменной Для компонент силы по осям у и z получаются аналогичные выражения.

Таким образом,

Зная компоненты, можно найтн вектор силы:

Вектор с компонентами где — скалярная функция координат х, у, z, называется градиентом функции Ф и обозначается символом

(V называется оператором набла, читается: «градиент фи»). Из определения градиента следует, что

Сравнение (22.5) с (22.6) показывает, что консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком:

Пусть частица, на которую действует сила (22.7), перемещается на отрезок имеющий компоненты При этом сила совершает работу

Приняв во внимание, что получим для приращения функции U следующее выражение:

Выражение вида (22.8) называется полным дифференциалом соответствующей функции.

Понятие полного дифференциала играет в физике большую роль. Поэтому уделим ему несколько строк. Полным дифференциалом однозначной функции называется приращение, которое получает эта функция при переходе от точки с координатами х, у, z в соседнюю точку с координатами По определению это приращение равно

и, следовательно, определяется лишь значениями функции в начальной и конечной точках. Поэтому оно не может зависеть от пути, по которому происходит переход. Возьмем в качестве такого пути ломаную линию, состоящую из отрезков (рис. 22.1).

На отрезке функция ведет себя как функция одной лишь переменной х и получает приращение Аналогично на отрезках функция получает приращения

Рис. 22.1.

Рис. 22.2.

Таким образом, полное приращённе функции при переходе из начальной точки в конечную равно

Мы пришли к выражению для полного дифференциала (ср. с (22.8)). Не всякое выражение вида

прёдставляет собой полный дифференциал некоторой функции . В частности, выражение для работы, совершаемой силой (21.4),

(22.10)

не является полным дифференциалом — не существует такой функции U, для которой (см. (21.4)). Соответственно не существует функции U, убыль которой определяла бы работу (22.10).

Из сказанного вытекает, что консервативными могут быть только силы, удовлетворяющие условию (22.7), т. е. такие силы, компоненты которых по координатным осям равны взятым с обратным знаком частным производным некоторой функции по соответствующим координатам. Эта функция представляет собой потенциальную энергию частицы.

Конкретный вид функции зависит от характера силового поля. Найдем в качестве примера потенциальную энергию частицы в поле сил тяжести. Согласно (21.2) работа, совершаемая над частицей силами этого поля, равна

С другой стороны, согласно (22.1)

Сравнив оба выражения для работы, придем к заключению, что потенциальная энергия частицы в поле сил тяжести определяется выражением

(22.11)

где h отсчитывается от произвольного уровня.

Начало отсчета потенциальной энергии можно выбирать произвольно. Поэтому U может иметь отрицательные значения. Если, например, принять за нуль потенциальную энергию частицы, находящейся на поверхности Земли, то потенциальная энергия частицы, лежащей На дне ямы глубины будет равна (рис. 22.2). Отметим, что кинетическая энергия не может быть отрицательной.

Пусть на частицу, кроме консервативных сил, действует также неконсервативная сила F. Тогда при переходе частицы из точки 1 в точку 2 над ней будет совершаться работа

где - работа неконсервативной силы. Работу консервативных сил Лковсерв можно представить как . В результате получим, что

Суммарная работа всех приложенных к частице сил идет на приращение кинетической энергии частицы (см. (19.11)). Следовательно,

откуда, приняв во внимание, что получаем

(22.12)

Полученный результат означает, что работа неконсервативных сил затрачивается на приращение полной механической энергии частицы.

В случае, если в конечном и начальном положениях кинетическая энергия частицы одинакова (в частности, равна нулю), работа неконсервативных Сил идёт на приращение потенциальной энергии частицы:

(22.13)

Это соотношение бывает; полезно при нахождении разности значении потенциальной энергии.

Рассмотрим систему, состоящую из N невзаимодействующих между собой частиц, находящихся в поле консервативных сил.

Каждая из частиц обладает кинетической энергией ( — номер частицы) и потенциальной энергией Рассматривая частицу независимо от других частиц, можно получить, что

Просуммировав это равенство по всем частицам, придем к соотношению

(22.14)

Из этого соотношения следует аддитивность полной механической энергии для рассматриваемой системы.

Согласно (22.14) полная механическая энергия системы невзаимодействующих частиц, на которые действуют только консервативные силы, остается постоянной. Это утверждение выражает закон сохранения энергии для указанной механической системы.

Если, кроме консервативных сил, на частицы действуют некон сервативные силы полная энергия системы не остается постоянной, причем

(22.15)

где — работа, совершаемая неконсервативной силой, приложенной к i-й частице, при перемещении этой частицы из ее начального положения в конечное.

В конце предыдущего параграфа мы установили, что работа сил трения всегда отрицательна. Поэтому при наличии в системе сил трения полная механическая энергия системы уменьшается (рассеивается), переходя в немеханические формы энергии (например, во внутреннюю энергию тел, или, как принято говорить, в тепло), Такой процесс называется диссипацией энергии (латинское слово «диссипация» означает рассеяние). Силы, приводящие к диссипации энергии, называются диссипативными. Таким образом, силы трения являются диссипативными. В общем случае диссипативными называются силы, всегда направленные противоположно скоростям частиц и, следовательно, вызывающие их торможение.

Отметим, что неконсервативные силы не обязательно являются диссипативными.