§ 33. Центробежная сила инерции

Рассмотрим диск, вращающийся вокруг перпендикулярной к нему вертикальной оси с угловой скоростью (рис. 33.1). Вместе с диском вращается надетый на спицу шарик, соединенный с центром диска пружиной.

Рис. 32.2.

Рис. 33.1.

Шарик занимает на спице такое положение, при котором сила натяжения пружины оказывается равной произведению массы шарика на его ускорение ; R — радиус-вектор, проведенный к шарику из центра диска, его модуль R дает расстояние шарика от центра диска):

Относительно системы отсчета, связанной с диском, шарик покоится. Это можно формально объяснить тем, что, кроме силы (33.1), на шарик действует сила инерции

направленная вдоль радиуса от центра диска.

Силу инерции (33.2), возникающую во вращающейся (по отношению к инерциальным системам) системе отсчета, называют центробежной силой инерции.

Рис. 33.2.

Рис. 33.3.

Эта сила действует на тело во вращающейся системе отсчета, независимо от того, покоится тело в этой системе (как мы предполагали до сих пор) или движется относительно нее со скоростью

Если положение тела во вращающейся системе отсчета характеризовать радиусом-вектором , центробежную, силу инерции можно представить в виде двойного векторного произведения:

Действительно, вектор направлен перпендикулярно к векторам «на нас» (рис. 33.2) и равен по модулю Векторное произведение взаимно перпендикулярных векторов та и совпадает по направлению с и имеет модуль, равный

При точном решении задач о движении тел относительно земной поверхности Нужно учитывать центробежную силу инерции, равную где — масса тела, со — угловая скорость вращения Земли вокруг ее оси, R — расстояние тела от заданой оси (рис. 33.3). В случаях, когда высота тел над поверхностью Земли невелика, можно положить R равным — радиус Земли, — широта местности).

Тогда выражение для центробежной силы инерции примет вид

Наблюдаемое относительно Земли ускорение свободного падения тел g обусловлено действием силы с которой тело притягивается Землей, и силы Результирующая этих сил

есть сила тяжести, равная (см. (16.1)).

Отличие силы тяжести Р от силы притяжения к Земле невелико, так как центробежная сила инерции значительно меньше, чем . Так, для массы в 1 кг наибольшее значение наблюдаемое на экваторе, равно

в то время как равна приблизительно 9,8 Н, т. е. почти в 300 раз больше.

Угол между направлениями и Р (см. рис. 33.3) можно определить, воспользовавшись теоремой синусов:

откуда

Синус малого угла можно приближенно заменить значением самого угла. В результате получим, что

Таким образом, угол а изменяется впределах от нуля (на экваторе, где и на полюсах, где ) до 0,0018 рад или широте 45°).

Направление силы Р совпадает с направлением нити, натянутой грузом, которое называется направлением отвеса или вертикальным направлением. Сила направлена к центру Земли. Следовательно, вертикаль направлена к центру Земли, только на полюсах и на экваторе, отклоняясь на промежуточных широтах на угол а, определяемый выражением (33.6).

Разность равна нулю на полюсах и достигает максимума равного 0,3% силы на экваторе. Из-за сплюснутости Земли у полюсов сила сама по себе несколько варьирует с широтой, будучи на экваторе примерно на 0,2% меньше, чем у полюсов. В итоге ускорение свободного падения изменяется с широтой в пределах от 9,780 м/с2 на экваторе до 9,832 м/с2 на полюсах. Значение принято в качестве нормального (стандартного) значения.

Заметим, что относительно инерциальной, например, гелиоцентрической системы отсчета свободно падающее тело движется с ускорением (а не g). Из рис. 33.3 видно, что из равенства для разных тел ускорения g вытекает и равенство ускорений о». Действительно, треугольники, «построенные на векторах и Р для разных тел, подобны (углы а и для всех тел в данной точке земной поверхности одинаков). Следовательно, отношение которое совпадает с отношением для всех тел одно и то же, откуда вытекает, что при одинаковых g получаются одинаковыми и