§ 4. Ускорение

Скорость частицы v может изменяться со временем как по величине, так и по направлению. Быстрота изменения вектора v, как и быстрота изменения любой функции времени, определяется производной вектора v по t.

Обозначив эту производную буквой , получим:

Величина, определяемая формулой (4.1), называется ускорением частицы.

Заметим, что ускорение w играет по отношению к v такую же роль, какую вектор v играет по отношению к радиусу-вектору .

Равные векторы имеют одинаковые проекции на координатные оси. Следовательно, например,

(см. (2.40)). Вместе с тем согласно (3.9) . Поэтому

Мы получили, что проекция вектора ускорения на ось х равна второй производной координаты х по времени: Аналогичное выражения получаются для проекций ускорения на оси у и г. Таким образом,

Подставим в формулу (4.1) выражение (3.11) для v:

Напомним, что есть орт касательной к траектории, направленный в ту же сторону, что и v. Согласно (2.49)

Следовательно, вектор w можно представить в виде суммы двух составляющих. Одна из них коллинеарна с т. е. направлена по касательной к траектории, и поэтому обозначается и называется тангенциальным ускорением. Она равна

Вторая составляющая, равная направлена, как мы покажем ниже, по нормали к траектории и поэтому обозначается и называется нормальным ускорением. Таким образом,

Исследуем свойства обеих составляющих, ограничившись для простоты случаем, когда траектория является плоской кривой.

Модуль тангенциального ускорения (4.5) равен

Если (скорость растет по величине), вектор направлен в ту же сторону, что и (т. е. в ту же сторону, что и v). Если (скорость со временем уменьшается), векторы v и направлены в" противоположные стороны. При равномерном движении и следовательно, тангенциального ускорения нет.

Чтобы выяснить свойства нормального ускорения (4.6), нужно установить, чем определяется т. е. быстрота изменения со временем направления касательной к траектории. Легко сообразить, что эта быстрота будет тем больше, чем сильнее искривлена траектория и чем быстрее перемещается частица по траектории.

Степень искривленности плоской кривой характеризуется кривизной С, которая определяется выражением

где — угол между касательными к кривой в точках, отстоящих друг от друга на (рис. 4.1). Таким образом, кривизна определяет скорость поворота касательной при перемещении вдоль кривой.

Величина, обратная кривизне С, называется радиусом кривизны в данной точке кривой и обозначается буквой

Радиус кривизны представляет собой радиус окружности, которая сливается в данном месте с кривой на бесконечно малом ее участке. Центр такой окружности называется центром кривизны для данной точки кривой.

Радиус и центр кривизны в точке 1 (см. рис. 4.1) можно определить следующим образом. Возьмем неподалеку от точки 1 точку . Построим в этих точках касательные тих. Перпендикуляры к касательным пересекутся в некоторой точке О. Заметим, что для кривой, не являющейся окружностью, расстояния R и будут немного отличаться друг от друга. Если точку приблйжать к точке 1, пересечение перпендикуляров О будет перемещаться вдоль прямой R и в пределе окажется в некоторой точке О. Эта точка и будет центром кривизны для точки 1. Расстояния R и будут стремиться к общему пределу R, равному радиусу кривизны.

Рис. 4.1.

Действительно, если точки 1 и расположены близко друг к другу, можно написать, что или . В пределе при это приближенное равенство перейдет в строгое равенство , совпадающее с определением радиуса кривизны (см. (4.9)).

Обратимся к вычислению (см. (4.6)). Согласно (2.56)

где — орт нормали к траектории, направленный в ту сторону, в которую поворачивается вектор при движении частицы по траектории (в формуле (2.56) аналогичный орт был обозначен Величину можно связать с радиусом кривизны траектории и скоростью частицы V. Из рис. 4.1 следует, что

где — угол поворота вектора за время (совпадающий с углом между перпендикулярами ), — средняя скорость на пути Отсюда

В пределе при приближенное равенство станет строгим, средняя скорость v превратится в мгновенную скорость v в точке 1, — в радиус кривизны R. В результате получится равенство

(С — кривизна). Следовательно, быстрота поворота вектора скорости, как мы и предполагали, пропорциональна кривизне траектории и скорости перемещения частицы по траектории.

Подставив (4.11) в формулу (4.10), получим, что Наконец, подставив это выражение в (4.6), придем к окончательной формуле для нормального ускорения:

Итак, вектор ускорения при движении частицы по плоской кривой определяется следующим выражением:

Модуль вектора w равен

При прямолинейном движении нормальное ускорение отсутствует. Заметим, что обращается в нуль в точке перегиба криволинейной траектории (в точке ТП на рис. 4.2). По обе стороны от этой точки векторы направлены в разные стороны. Вектор не может изменяться скачком; изменение направления на противоположное происходит плавно с обращением в нуль в точке перегиба.

Пусть частица движется равномерно с постоянным по величине ускорением. Поскольку при равномерном движении скорость не изменяется по величине, то так что Постоянство по величине означает, что Отсюда заключаем, что вследствие равномерности движения). Значит, частица движется по кривой постоянной кривизны, т. е. по окружности. Таким образом, в случае, когда ускорение частицы постоянно по величине и направлено в каждый момент времени перпендикулярно к вектору скорости, траекторией частицы будет окружность.

Рис. 4.2.