§ 69. Преобразования импульса и энергии

Полная энергия Е и импульс не являются инвариантами. Действительно, обе, величины зависят от Ь, скорость же в различных системах отсчета имеет неодинаковое значение. Выясним, как преобразуются энергия и импульс при переходе от одной системы отсчета к другой.

Рассмотрим элементарное перемещение некоторой частицы. Пусть в системе отсчета К это перемещение осуществляется за время а компоненты перемещения равны . В системе К то же самое перемещение происходит за время а его компоненты равны . В соответствии с формулами (63.17) между промежутками времени и компонентами перемещения имеются соотношения

Умножим эти формулы на массу частицы и разделим на соответствующее промежуткам собственное время частицы (напомним, что масса и собственное время являются инвариантными величинами, т. е. имеют одинаковое значение в обеих системах). В результате получим

Согласно (67.6) и т.д. В соответствии с (68.13) . С учетом этого формулы (69.1) можно представить в виде

Мы получили формулы, по которым преобразуются импульс и энергия частицы, при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Эти формулы совпадают с формулами (63.17), по которым преобразуются координаты и время. Чтобы легче было производить сопоставление, напишем формулы (63.17) и (69.2) рядом:

(69.3)

Из сопоставления следует, что компоненты импульса ведут себя при преобразованиях как координаты, а энергия — как время.

Вскрываемая формулами (69.3) аналогия позволяет представить математический аппарат релятивистской механики в виде соотношений между векторами в воображаемом четырехмерном пространстве (четырехвекторами). В § 62 мы уже отмечали, что этому пространству приходится приписывать необычные свойства, отличные от свойств привйчного нам евклидова пространства. В трехмерном евклидовом пространстве величина

является инвариантом, т. е. не изменяется при поворотах координатных осей. В противоположность этому величина

оказывается не Инвариантной — она не сохраняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой (такой переход можно представить как поворот осей в четырехмерном пространстве). Следовательно, величина (69.4) не обладает свойствами квадрата расстояния между двумя мировыми точками. Инвариантным, как мы выяснили в § 65, является выражение

которое и следует рассматривать как квадрат расстояния между двумя точками в интересующем нас четырехмерном пространстве.

Наделив четырехмерное пространство такими свойствами, мы можем рассматривать величины как компоненты четырех-вектора, проведенного из начала координат в данную мировую точку. Соответственно с можно рассматривать как компоненты четырехвектора — перемещения из одной мировой точки в другую. В трехмерном евклидовом пространстве, кроме радиуса-вектора и вектора перемещения, рассматриваются и другие векторы (скорости, ускорения, силы и т. д.), причем для любого вектора а величина

является инвариантом. Компоненты любого такого вектора преобразуются при поворотах координатных осей по таким же формулам, как и координаты.

По аналогии с трехмерными векторами в евклидовом пространстве можно определить четырехмерные векторы. Под четырехмерным вектором понимают совокупность четырех величин преобразующихся по тем же формулам, что и ct, х, у, z (см. левый столбец формул (69.3)). «Квадрат» такого вектора следует определить как

(69.6)

Вследствие того, что компоненты преобразуются так же, как координаты, выражение (69.6) оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца.

Из формул (69.3) следует, что совокупность величин

образует четырехвектор. Его называют вектором энергии-импульса. Образованное из компонент (69.7) выражение вида (69.6) является, как мы установили (см. (68.11)), инвариантом: