§ 95. Число ударов молекул о стенку

Рассмотрим находящийся в равновесии газ, заключенный в некотором сосуде. Возьмем элемент поверхности сосуда и подсчитаем число ударов молекул об этот элемент за время

Выделим из N молекул, заключенных в сосуде, те молекул, величина скорости которых заключена в пределах от v до

Из числа этих молекул направления движения, заключенные внутри телесного угла будет иметь количество молекул, равное

(см. ). Из выделенных таким образом молекул долетят за время до площадки и ударятся о нее J) молекулы, заключенные в косом цилиндре с основанием и высотой (рис. 95.1).

Рис. 95.1.

Количество этих молекул равно

(V — объем сосуда). Чтобы получить полное число ударов молекул о площадку , нужно просуммировать выражение (95.2) по телесному углу (отвечающему изменениям от 0 до и изменениям от 0 до ) и по скоростям в пределах от 0 до , где — наибольшая скорость, которой могут обладать молекулы в данных условиях (см. предыдущий параграф).

Начнем с суммирования по направлениям. Для этого представим в виде (см. (94.4)) и произведем интегрирование выражения (95.2) по 0 в пределах от 0 до и по в пределах от 0 до

Интегрирование по дает интеграл по равен 1/2. Следовательно,

Это выражение дает число ударов о площадку AS за время молекул, летящих в направлениях, заключенных в пределах телесного угла и имеющих величину скорости от v до .

Суммирование по скоростям дает полное число ударов молекул о площадку за время

Выражение

представляет собой среднее значение величины скорости V. Заменив в (95.4) интеграл произведением получим, что

Здесь есть число молекул газа в единице объема.

Наконец, разделив выражение (95.5) на и найдем число ударов молекул газа об единицу поверхности стенки в единицу времени:

Полученный результат означает, что число ударов пропорционально количеству молекул в единице объема («концентрации» молекул) и среднему значению величины Заметим, что величина (95.6) представляет собой плотность потока молекул, падающего на стенку.

Представим себе в газе воображаемую единичную площадку. Если газ находится в равновесии, через эту площадку будет пролетать в обоих направлениях в среднем одинаковое количество молекул, причем количество молекул, пролетающих в единицу времени в каждом из направлений, также определяется формулой (95.6).

С точностью до числового коэффициента выражение (95.6) может быть получено с помощью следующих упрощенных рассуждений. Допустим, что молекулы газа движутся только вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений. Если в сосуде содержится N молекул, то в любой момент времени вдоль каждого из направлений будет двигаться молекул, причем половина из них (т. е. молекул) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина в другую. Следовательно, в интересующем нас направлении (например, по нормали к данному элементу стенки сосуда) движется 1/6 часть молекул.

Предположим, кроме того, что все молекулы движутся с одинаковой скоростью, равной Тогда за время до элемента стенки долетят все движущиеся по направлению к нему молекулы, заключенные в объеме цилиндра с основанием и высотой (рис. 95.2). Число этих молекул равно Соответственно число ударов об единичную площадку в единицу времени оказывается равным

Полученное выражение отличается от (95.6) лишь значением числового множителя (1/6 вместо 1/4).

Сохранив предположение о движении молекул в трех взаимно перпендикулярных направлениях, но отказавшись от допущения об одинаковости скоростей молекул, следует выделить из числа молекул в единице объема те молекул, скорости которых лежат в интервале от v до

Рис. 95.2.

Количество молекул, имеющих такие скорости и долетающих до площадки за время равно

Полное число ударов получим, проинтегрировав выражение (95.8) по скоростям:

Наконец, разделив на и , получим формулу (95.7). Таким образом, предположение об одинаковости скоростей молекул не влияет на результат, получаемый для числа ударов молекул о стенку. Однако, как мы увидим в следующем параграфе, это предположение изменяет результат вычислений давления.