§ 30. Движение в центральном поле сил

Рассмотрим частицу, находящуюся в центральном поле сил. Напомним, что направление силы, действующей на частицу в любой точке такого поля, проходит через точку О - центр поля, а величина силы зависит только от расстояния до этого дентра. Легко сообразить, что зависимость силы F от имеет вид:

где — орт радиуса-вектора (рис. 30.1), — проекция вектора силы на направление радиуса-вектора, т. е.

Для силы отталкивания функция положительна, для силы притяжения — отрицательна. Рис. 30.1 выполнен для случая отталкивания частицы от Силового центра: Формула (30.1) разумеется, справедлива только в том случае, если начало координат (т. е. точка, из которой проводятся радиусы-векторы) помещено в центр поля.

Момент силы (30.1) относительно точки О, очевидно, равен нулю. Это следует из того, что плечо силы равно нулю. Отсюда в соответствии с (29.18) вытекает, что момент импульса частицы, движущейся в центральном поле сил, остается постоянным. Вектор в каждый момент времени Перпендикулярен к плоскости, образованной векторами (рис. 30.2). Если M=const, эта плоскость будет фиксированной. Таким образом, при движении частицы в центральном поле сил ее радиус-вектор остается все время в одной плоскости. В этой же плоскости лежит все время вектор . Следовательно, траектория частицы представляет собой плоскую кривую. Плоскость, в которой лежит траектория, проходит через центр поля рис. 30.2).

На рис. 30.3 изображен участок траектории частицы (вектор М направлен на чертеж). За время радиус-вектор частицы описывает заштрихованную площадь Эта площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах Последняя в свою очередь равна модулю векторного произведения (см. текст, следующий за формулой (2.28)). Таким образом, площадь заштрихованного треугольника равна

(мы вынесли скалярный множитель за знак векторного произведения). Разделив обе части полученного соотношения на dt, получим, что

Рис. 30.1,

Рис. 30.2.

Величина т. е. площадь, описываемая радиусом-вектором частицы в единицу времени, называется секториальной скоростью. В центральном поле сил следовательно, и секториальная скорость частицы остается постоянной.

Рис. 30.3.

Рис. 30.4.

Найдем выражение момента импульса частицы в полярных координатах (рис. 30.4). Согласно формулам (3.12)—(3.15) вектор скорости частицы можно представить в виде

Подставив это выражение в формулу для М, получим:

Векторы , коллинеарны, поэтому первое слагаемое равно нулю. Следовательно,

Векторное произведение равно где — орт оси (на рис. 30.4 этот орт направлен на нас). Таким образом,

Отсюда заключаем, что

где — проекция момента импульса на ось . Модуль момента импульса равен модулю выражения (30.5).

Теперь обратимся к энергии частицы. Центральные силы являются консерративными (см. § 21). Согласно (22.1) работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии частицы U. Поэтому для силы (30.1) имеет место соотношение т. е.

Проинтегрировав это соотношение, получим, что

Из (30.6) следует, что потенциальная энергия частицы, находящейся в поле центральных сил, завксит только от расстояния до центра

Особый интерес представляют силы, обратно пропорциональные квадрату расстояния от силового центра. Для них функция в формуле (30.1) имеет вид

где — постоянная величина соответствует случаю отталкивания от центра, — случаю притяжения к центру). К числу таких сил принадлежат гравитационные и кулоновские силы. Подстановка функции (30.7) в выражение (30.6) дает:

где С — постоянная интегрирования. Обычно условливаются считать потенциальную энергию на бесконечности (т. е. при ) равной нулю. При этом условии так что

Итак, полная механическая энергия частицы, движущейся в поле центральных обратно пропорциональных квадрату расстояния, определяется выраженная

Заменив в соответствии с (30.3) квадрат скорости v суммой квадратов скоростей т. е. подставив вместо выражение получим, что

(30.10)

В центральном поле энергия и момент импульса частицы сохраняются. Следовательно, левые части формул (30,5) и (30.10) представляют собой константы. Таким образом, мы приходим к системе двух дифференциальных уравнений:

(30.11)

Проинтегрировав, эти уравнения, можно найти как фунуции от t, т. е. траекторию и характер движения частицы. Отметим, что в уравнения (30.11) входят первые производные по времени от . Поэтому их гораздо легче решить, чем уравнения, вытекающие из законов Ньютона, которые содержат вторые производные от координат.

Решение системы (30,11) выходит за. рамки данной книги. Мы ограничимся тем, что приведем конечный результат. Траектория частицы представляет собой коническое сечение, т. е. эллипс, либо параболу, либо гиперболу. Какая из этих кривых наблюдается в данном конкретном случае, зависит от знака константы а и величины полной энергий частицы.

Рис. 30.5.

Рис. 30.6

В случае отталкивания (т. е. при ) траекторией частицы может быть только гипербола (рис. 30.5). Если гипербола вырождается в прямую продолжение которой проходит через силовой центр. Заметим, что при полная энергия (30.9) не, может быть отрицательной.

В случае притяжения (т. е. при ) полная энергия может быть как положительной так и отрицательной; в частности, она может оказаться равной нулю: При траектория оказывается гиперболой (рис. 30.6). При траектория будет параболой. Этот случай осуществляется, если частица начинает свое движение из состояния покоя на бесконечности (см. (30.9)). Наконец, при траекторией будет эллипс. При значениях энергии и момента импульса, удовлетворяющих условию эллипс вырождается в окружность.

Движение по эллипсу является, финитным, движение по параболе и гиперболе — инфинитным (см. § 26).