§ 50. Малые колебания

Рассмотрим механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины, которую мы обозначим через х. В таких случаях говорят, что система имеет одну степень свободы. Величиной х, определяющей положение системы, может быть угол, отсчитываемый от некоторой плоскости, или расстояние, отсчитываемое вдоль заданной кривой (в частности прямой) линии, и т. п. Потенциальная энергия системы будет функцией одной переменной . Допустим, что система обладает положением устойчивого равновесия. В этом положении функция имеет минимум (см. § 26). Условимся координату х и потенциальную энергию U отсчитывать от положения равновесия. Тогда U(0)=0.

Разложим функцию в ряд по степеням причем ограничимся рассмотрением малых колебаний, так что высшими степенями х можно будет пренебречь. По формуле Маклорена

(ввиду малости остальными членами пренебрегаем). Поскольку при имеет минимум, равна нулю, а положительна. Кроме того, по условию Введем обозначение: Тогда

Выражение (50.1) идентично с выражением (25.1) для потенциальной энергии деформированной пружины. Воспользовавшись соотношением (22.4), найдем силу, действующую на систему:

Эта формула дает проекцию силы на направление х. В дальнейшем индекс х при обозначении силы мы будем опускать, т. е. писать соотношение (50.2) в виде:

Выражение (50.2) тождественно выражению (14.2) для упругой силы деформированной пружины. Поэтому силы вида (50.2), независимо от их природы, называют квазиупругими.

Рис. 50.1.

Рис. 50.2.

Легко сообразить, что сила, описываемая формулой (50.2), всегда направлена к положению равновесия. Модуль силы пропорционален величине отклонения системы от равновесного положения. Силу, обладающую такими свойствами, иногда называют восстанавливающей силой.

В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из шарика массы , подвешенного на пружине, массой которой можно пренебречь по сравнению с (рис. 50.1). В положении равновесия сила уравновешивается упругой силой

( удлинение пружины). Будем характеризовать смещение шарика из положения равновесия координатой х, причем ось направим по вертикали вниз, а нуль оси совместим с положением равновесия шарика. Если сместить шарик в положение, характеризуемое координатой х, то удлинение пружины станет равным и проекция результирующей силы на ось примет значение Учтя условие (50.3), получим, что

Таким образом, в рассмотренном примере результирующая силы тяжести и упругой силы имеет характер квазиупругой силы.

Сообщим шарику смещение после чего предоставим систему самой себе. Под действием квазиупругой силы шарик будет двигаться к положению равновесия со все возрастающей скоростью При этом потенциальная энергия системы будет убывать (рис. 50.2), но зато появится все возрастающая кинетическая энергия (массой пружины пренебрегаем). Придя в положение равновесия, шарик продолжает двигаться по инерции. Это движение будет замедленным и прекратится тогда, когда кинетическая энергия полностью превратится в потенциальную, т. е. когда смещение шарика станет равным —а. Затем такой же процесс будет протекать при движении шарика в обратном направлении. Если трение в системе отсутствует, энергия системы должна сохраняться и шарик будет двигаться в пределах от до неограниченно долго.

Уравнение второго закона Ньютона для шарика имеет вид

Введя обозначение

преобразуем уравнение (50.5) следующим образом:

Поскольку вещественная величина.

Итак, в отсутствие сил трения движение под действием квазиупругой силы описывается дифференциальным уравнением (50.7).

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся, случае сила сопротивления F пропорциональна величине скорости:

Здесь — постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус обусловлен тем, что сила F и скорость v имеют противоположные направления; следовательно, их проекции на ось х имеют разные знаки.

Уравнение второго закона Ньютона при наличии сил сопротивления имеет вид

Применив обозначения

(50.10)

(ср. с (50.6)), перепишем уравнение (50.9) следующим образом:

(50.11)

Это дифференциальное уравнение описывает затухающие колебания системы.

Колебания, описываемые уравнениями (50.7) и (50.11), являются свободными (или собственными): выведенная из положения равновесия или получившая толчок система совершает колебания, будучи предоставленной самой себе. Теперь пусть колебательная система подвергается действию внешней силы, изменяющейся со временем по гармоническому закону:

(50.12)

В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид

Введя обозначения (50.10), запишем это уравнение следующим образом:

(50.13)

где

Уравнение (50.13) описывает вынужденные колебания.

Мы выяснили, что при изучении колебаний различного вида мы сталкиваемся с необходимостью решать дифференциальные уравнения вида где — константы, — некоторая функция от t. Уравнение типа (50.15) называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. В случае уравнения (50.7) случае уравнения (50.11) . В обоих случаях функция тождественно равна нулю: . В случае вынужденных колебаний .

Решение уравнения (50.15) сильно облегчается, если перейти к комплексным величинам. Поэтому прежде чем перейти к детальному рассмотрению колебаний различного вида, мы познакомимся кратко с комплексными числами и методами решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Рис. 51.1.