§ 52. Линейные дифференциальные уравнения

Уравнение вида

где а и Ь — константы, заданная функция от t, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Константы могут быть и нулями.

Если функция тождественно равна нулю уравнение называется однородным, в противном случае — неоднородным. Однородное уравнение имеет вид

Решение всякого дифференциального уравнения второго порядка (т. е. со старшей второй производной) содержит две произвольные константы Это можно понять, приняв во внимание, что определение функции по ее второй производной осуществляется двукратным интегрированием. При каждом интегрировании появляется постоянная интегрирования. Рассмотрим в качестве примера уравнение

Интегрирование этого уравнения дает, что Повторное интегрирование приводит к функции

Легко убедиться в том, что при любых значениях постоянных функция (52.4) удовлетворяет уравнению (52.3).

Придав постоянным определенные значения, получим так называемое частное решение дифференциального уравнения. Например, функция является одним из частных решений уравнения (52.3).

Множество всех без исключения частных решений называется общим решением дифференциального уравнения. Общее решение уравнения (52.3) имеет вид (52.4).

В теории линейных дифференциальных уравнений доказывается, что если суть линейно независимые 1) решения однородного уравнения (52.2), то общее решение этого уравнения можно представить в виде

где — произвольные постоянные.

Пусть Си есть общее решение неоднородного уравнения (52.1) (произвольные постоянные входят в это решение в качестве параметров), — одно из частных решений того же уравнения (оно не содержит произвольных постоянных). Введем обозначение:

Тогда общее решение неоднородного уравнения можно представить в виде

Функция (52.6) при любых значениях постоянных удовлетворяет уравнению (52.1). Следовательно, можно написать соотношение:

Сгруппировав слагаемые, получим:

Частное решение также удовлетворяет уравнению (52.1). Поэтому выражение, стоящее в квадратных скобках в левой части соотношения (52.7), равно правой части этого соотношения. Отсюда вытекает, что функция должна удовлетворять условию

т. е. представляет собой общее решение однородного уравнения (52.2). Таким образом, мы пришли к очень полезной теореме: общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.

(52.8)

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами решают с помощью подстановки

где К — постоянная величина. Дифференцирование функции (52.9) дает, что

(52.10)

Подстановка выражений (52.9) и (52.10) в уравнение (52.2) приводит после сокращения на отличный от нуля множитель к алгебраическому уравнению

(52.11)

Это уравнение называется характеристическим. Корни этого уравнения представляют собой те значения при которых функция (52.9) удовлетворяет уравнению (52.2).

Если корни уравнения (52.11) не совпадают (КФК), функции и будут линейно независимыми.

Следовательно, согласно (52.5) общее решение уравнения (52.2) можно написать в виде

(52.12)

Можно показать, что в случае, когда общее решение уравнения (52.2) выглядит следующим образом:

(52.13)

Допустим, что коэффициенты — вещественные, а функция, стоящая в правой части уравнения (52.1), комплексная. Представив эту функцию в виде придем к уравнению:

(52.14)

(мы обозначили искомую функцию буквой ). Решение этого уравнения будет, очевидно, комплексным. Записав решение в виде подставим его в уравнение (52.14). В результате получим:

(52.15)

У равных друг другу комплексных чисел равны порознь вещественные и мнимые части (см. (51.6)). Следовательно, уравнение (52.15) распадается на два независимых уравнения:

первое из которых совпадает с уравнением (52.1). Это свойство уравнения (52.15) позволяет применить следующий прием, иногда значительно облегчающий вычисления. Пусть в решаемом нами уравнении (52.1) правая часть вещественная. Прибавив к ней произвольную мнимую функцию, приведем уравнение к виду (52.14). Найдя затем комплексное решение уравнения, возьмем его вещественную часть. Она будет представлять собой решение исходного уравнения (уравнения (52.1)).