§ 74. Истечение жидкости из отверстия

Применим уравнение Бернулли к случаю истечения жидкости из небольшого отверстия в широком открытом сосуде. Выделим в жидкости трубку тока, имеющую своим сечением с одной стороны открытую поверхность жидкости в сосуде, а с другой стороны — отверстие, через которое жидкость вытекает (рис. 74.1).

В каждом из этих сечений скорость и высоту над некоторым исходным уровнем можно считать одинаковыми, вследствие чего к ним можно применить уравнение (73.3), полученное при этом предположении. Далее, давления в обоих сечениях равны атмосферному и поэтому одинаковы. Кроме того, скорость перемещения открытой поверхности в широком сосуде можно положить равной нулю. С учетом всего сказанного, уравнение (73.3) применительно к данному случаю можно написать в виде

где v — скорость истечения из отверстия. Сократив на и введя — высоту открытой поверхности [жидкости над отверстием, получим: , откуда

Эта формула называется формулой Торричелли.

Рис. 74.1.

Рис. 74.2.

Итак, скорость истечения жидкости из отверстия, расположенного на глубине h под открытой поверхностью, совпадает со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты h. Следует помнить, что этот результат получен в предположении, что жидкость идеальна. Для реальных жидкостей скорость истечения будет меньше, причем тем сильнее отличается от значения (74.1), чем больше вязкость жидкости.

Струя жидкости, вытекающая из отверстия в сосуде (рис. 74.2), уносит с собой за время импульс ( — плотность жидкости, S — площадь отверстия, v — скорость истечения струи). Этот импульс сообщается вытекающей жидкости сосудом. По третьему закону Ньютона сосуд получает от вытекающей жидкости за время импульс, равный , т. е. испытывает действие силы

Эта сила называется реакцией вытекающей струи.

Если сосуд поставить на тележку, то под действием силы F, он придет в движение в направлении, противоположном направлению струи.

Найдем значение силы воспользовавшись выражением (74.1) для скорости истечения жидкости из отверстия:

Если бы, как это может показаться на первый взгляд, сила совпадала по величине с силой гидростатического давления, которое жидкость оказывала бы на пробку, закрывающую отверстие, то была бы равна . На самом деле сила оказывается в 2 раза большей. Это объясняется тем, что возникающее при вытекании струи движение жидкости в сосуде приводит к перераспределению давления, причем давление вблизи стенки, лежащей против отверстия, оказывается несколько большим, чем вблизи стенки, в которой сделано отверстие.

На реакции вытекающей струи газа основано действие реактивных двигателей и ракет. Реактивное движение, не нуждаясь для своего осуществления в наличии атмосферы, используется для полетов в космическом пространстве.

Основоположником теории межпланетных сообщений является выдающийся русский ученый и изобретатель К. Э. Циолковский (1857-1935). Он дал теорию полета ракеты и обосновал возможность применения реактивных аппаратов для межпланетных сообщений. В частности, Циолковским была разработана теория движения составных ракет, в которых каждая последующая ступень вступает в действие после того, как предыдущая ступень, израсходовав полностью топливо, отделится от ракеты. Идеи Циолковского получили дальнейшее развитие и были осуществлены советскими учеными и инженерами, обеспечившими ведущую роль Советского Союза в освоений изучении космического пространства.