§ 2. Некоторые сведения о векторах

Определение вектора. Векторами называются величины, характеризующиеся численным значением и направлением и, кроме того, складывающиеся по правилу параллелограмма. Последнее требование является весьма существенным. Можно указать такие величины, которые характеризуются численным значением и направлением, однако складываются иначе, чем векторы. В качестве примера приведем поворот тела вокруг некоторой оси на конечный угол Такой поворот можно изобразить в виде отрезка длины направленного по оси, вокруг которой осуществляется поворот, в сторону, связанную с направлением вращения правилом правого винта. На рис. 2.1 в верхнем ряду показаны два последовательных поворота шара на углы изображаемые отрезками

Рис. 2.1.

Первый поворот, совершаемый вокруг оси 1—1, переводит точку А шара в положение А, второй, совершаемый вокруг оси в положение Такого же результата (т. е. перевода точки А в положение ) можно достичь, повернув шар вокруг оси 3—3(см. нижний ряд на рис. 2.1) на угол . Следовательно, такой поворот следует рассматривать как сумму поворотов .

Однако его нельзя получить из отрезков сложив их по правилу параллелограмма. Такое сложение дает отрезок длины вместо требуемой длины . Поворот на угол переводит точку А в точку Отсюда вытекает, что изображаемые направленными отрезками повороты на конечные углы не обладают свойствами векторов.

Численное значение вектора называется его модулем. Образно говоря, модуль дает длину вектора. Модуль вектора — скаляр, причем всегда положительный.

На чертежах векторы изображаются в виде прямолинейных отрезков со стрелкой на конце. Длина отрезка определяет в установленном масштабе модуль вектора, а стрелка указывает направление вектора.

Векторы принято обозначать буквами жирного шрифта, например, a, b, v, F и т. д. Такая же буква обычного шрифта используется для обозначения модуля вектора, например а есть модуль вектора а. Иногда для обозначения модуля приходится пользоваться символом вектора, заключенным между двумя вертикальными черточками: |а|=модулю вектора а. Таким способом обозначается, например, модуль суммы векторов и

В этом случае символ означает сумму модулей складываемых векторов, которая, вообще говоря, не равна модулю суммы векторов (равенство имеет место лишь в том случае, когда складываемые векторы имеют одинаковое направление).

Векторы, направленные вдоль параллельных прямых (в одну и ту же или в противоположные стороны), называются коллинеарными. Векторы, которые лежат в параллельных плоскостях, называются компланарными. Посредством параллельного переноса коллинеарные векторы могут быть расположены вдоль одной и той же прямой, а компланарные векторы могут быть сведены в одну плоскость.

Совпадающие по модулю коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление, считаются равными друг другу.

Сложение и вычитание векторов. Практически сложение векторов удобнее производить без построения параллелограмма.

Как видно из рис. 2.2, такой же результат достигается, если начало второго вектора совместить с концом первого, а затем провести из начала первого в конец второго результирующий вектор. Особенно целесообразен такой прием в том случае, когда приходится складывать большее чем два количество векторов (рис. 2.3).

Рис. 2.2.

Рис. 2.3.

Разностью двух векторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а (рис. 2.4; об изображенном пунктиром векторе — b речь идет ниже). Модуль разности двух векторов, как и модуль суммы (см. (2.1)), можно записать только с помощью вертикальных черточек:

поскольку символ означает разность модулей векторов и которая, вообще говоря, не равна модулю разности.

Рис. 2.4.

Рис. 2.5.

Умножение вектора на скаляр. В результате умножения вектора а на скаляр а получается новый вектор модуль которого в раз больше, чем модуль вектора Направление же вектора либо совпадает с направлением вектора а (если ), либо противоположно направлению вектора а (если ).

Из сказанного вытекает, что умножение на —1 изменяет направление вектора на обратное. Следовательно, векторы а и —а имеют одинаковые модули, но противоположны по направлению. С помощью рис. 2.4 легко убедиться в том, что вычитание из вектора а вектора b равнозначно прибавлению к вектору а вектора —b.

Из определения операции умножения вектора на скаляр следует, что всякий вектор а можно представить в виде

где — модуль вектора — вектор с модулем, равным единице, имеющий такое же направление, как и а (рис. 2.5). Вектор называется единичным вектором или ортом вектора а. Орт можно представить в виде

откуда следует, что орт является безразмерной величиной.

Орты можно сопоставлять не только векторам, но и любым направлениям в пространстве. Например, есть орт координатной оси — орт нормали к кривой или поверхности, — орт касательной к кривой и т. д.

Линейная зависимость между векторами. Рассмотрим три неколлинеарных вектора а, b и с, которые лежат в одной плоскости.

Рис. 2.6.

Рис. 2.7.

Из рис. 2.6 видно, что любой из них (например, с) можно выразить через два других с помощью соотношения

где — некоторые числа (для изображенного на рисунке случая ). Отсюда заключаем, что любой вектор с, лежащий в одной плоскости с неколлинеарными векторами а и может быть выражен через эти векторы с помощью линейного соотношения (2.5). При фиксированных векторах а и b всякий третий вектор однозначно определяется двумя величинами

Пусть даны три вектора а, b, с, каждый из которых некомпланарен с остальными двумя.

По аналогии с (2.5) легко сообразить, что любой вектор d можно представить как линейную комбинацию заданных векторов:

При фиксированных векторах а, b и с любой вектор d однозначно определяется тремя величинами , каждая из которых может быть как положительной, так и отрицательной.

Проекция вектора. Рассмотрим некоторое направление в пространстве, которое мы зададим осью I (рис. 2.7). Пусть вектор а образует с осью I угол . Величина

(а — модуль вектора) называется проекцией вектора а на ось I. Проекция обозначается той же буквой, что и вектор, с добавлением индекса, указывающего направление, на которое спроектирован вектор.

Проекция вектора есть величина алгебраическая. Если вектор образует с данным направлением острый угол, то так что проекция положительна. Если угол тупой, то и, следовательно, проекция отрицательна. Когда вектор перпендикулярен к данной оси, проекция равна нулю.

Проекция вектора имеет простой геометрический смысл. Она равна расстоянию между проекциями на ось начала и конца отрезка, изображающего данный вектор. В случае это расстояние берется со знаком плюс, в случае — со знаком минус.

Пусть (рис. 2.8). Из рисунка легко заключить, что проекция результирующего вектора а на некоторое направление равна сумме проекций складываемых векторов:

Напомним, что при суммировании проекций изображенных на рис. 2.8 векторов расстояния 0—1, 1—2 и 2—3 нужно взять со знаком плюс, а расстояние 3—4 — со знаком минус. Формула (2.8) справедлива при любом числе слагаемых.

Выражение вектора через его проекции на координатные оси. Возьмем декартовы оси координат и рассмотрим вектор а, лежащий в плоскости, перпендикулярной к оси (рис. 2.9). Введем орты координатных осей, т. е. единичные векторы на рисунке не показан, он перпендикулярен к плоскости рисунка и направлен на нас). Заметим, что эта тройка ортов полностью определяет систему координат и поэтому называется базисом координатной системы.

Из рис. 2.9 видно, что вектор а можно представить в виде линейной комбинации ортов (см. (2.5)):

Роль коэффициентов играют проекции вектора на оси координат. В рассматриваемом примере проекция отрицательна, поэтому вектор ахех имеет направление, противоположное направлению орта е.

Рис. 2.8.

Рис. 2.9.

Мы взяли вектор а, перпендикулярный к оси z, вследствие чего . В общем случае, когда все три проекции вектора отличны от нуля,

Таким образом, любой вектор можно выразить через его проекции на координатные оси и орты этих осей. В связи с этим проекции на координатные оси называются компонентами вектора.

Величины равны (с точностью до знака) сторонам прямоугольного параллелепипеда, большой диагональю которого служит вектор а (рис. 2.10). Поэтому имеет место соотношение

Пусть Представив каждый из векторов в соответствии с формулой (2.9), получим:

(мы вынесли за скобки общие множители ). Равные векторы имеют одинаковые проекции на координатные оси. На этом основании можно написать, что

Формулы (2.11) являются аналитическим выражением правила сложения векторов. Они справедливы при любом числе слагаемых.

Радиус-вектор. Радиусом-вектором некоторой точки называется вектор, проведенный из начала координат в данную точку (рис. 2.11). Его проекции на координатные оси равны декартовым координатам данной точки:

Следовательно, в соответствии с (2.9) радиус-вектор можно представить в виде

Согласно (2.10)

Скалярное произведение векторов. Два вектора а и b можно умножить друг на друга двумя способами; один способ приводит к скалярной величине, другой дает в результате некоторый новый вектор.

Рис. 2.10.

Рис. 2.11.

В соответствии с этим существует два произведения векторов — скалярное и векторное. Отметим, что операции деления вектора на вектор не существует.

Скалярным произведением векторов а и b называется скаляр, равный произведению модулей этих векторов на косинус угла а между ними:

(рис. 2.12). При записи скалярного произведения символы перемножаемых векторов пишутся рядом без какого-либо знака между ними. Выражение (2.15) есть алгебраическая величина: при а остром при а тупом Скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов равно нулю.

Заметим, что под квадратом вектора всегда подразумевают скалярное произведение вектора на самого себя:

Таким образом, квадрат вектора равен квадрату его модуля. В частности, квадрат любого орта равен единице:

Попутно отметим, что вследствие взаимной перпендикулярности ортов скалярные произведения вида равны нулю, если .

Очень удобен символ Кронекера который определяется следующим образом:

С использованием этого символа установленные выше свойства скалярных произведений ортов координатных осей можно выразить одной формулой:

(индексы могут принимать независимо друг от друга значения х, у и z).

Из определения (2.15) следует, что скалярное произведение коммутативно, т. е. не зависит от порядка сомножителей:

Выражение (2.15) можно записать несколькими способами:

Из рис. 2.12 видно, что равно — проекции вектора а на направление вектора Аналогично — проекции вектора b на нанравление вектора а. Поэтому можно сказать, что скалярным произведением двух векторов называется скаляр, равный произведению модуля одного из перемножаемых векторов на проекцию второго вектора на направление первого:

Приняв во внимание, что проекция суммы векторов равна сумме проекций складываемых векторов, можно написать:

Рис. 2.12.

Отсюда следует, что скалярное произведение векторов дистрибутивно — произведение вектора а на сумму нескольких векторов равно сумме произведений вектора а на каждый из складываемых векторов, взятый в отдельности.

Представив перемножаемые векторы в виде (2.9) и воспользовавшись дистрибутивностью скалярного произведения, получим:

Теперь учтем (2.19). В итоге получим выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов:

Заметим, что при поворотах координатных осей проекции векторов на эти оси меняются. Однако величина а от выбора осей не зависит. Отсюда заключаем, что изменения проекций векторов а и b при поворотах осей носят такой характер, что их комбинация вида (2.23) остается инвариантной (неизменной):

Легко сообразить, что проекцию вектора а на направление I (см. (2.7)) можно представить в виде

где — орт направления I. Аналогично

Векторное произведение. Векторным произведением векторов а и b называется вектор с, определяемый формулой

где а и b — модули перемножаемых векторов, а — угол между векторами, — единичный вектор нормали к плоскости, в которой лежат векторы а и b (рис. 2.13). Направление выбирается так, чтобы последовательность векторов а, b, образовывала правовинтовую систему. Это означает, что, если смотреть вслед вектору , то совершаемый по кратчайшему пути поворот от первого сомножителя ко второму осуществляется по часовой стрелке.

Рис. 2.13.

На рис. 2.13 вектор направлен за чертеж и поэтому изображенкружком с крестиком. Направление вектора с совпадает с направлением п.

Символически векторное произведение можно записать двумя способами:

Мы будем пользоваться первым из них, причем иногда во избежание путаницы будем ставить запятую между сомножителями. Итак, согласно (2.27)

Из рис. 2.13 видно, что модуль векторного произведения имеет простой геометрический смысл — выражение а численно равно площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах.

Направление вектора мы определили, связав его с направлением вращения от первого сомножителя ко второму. При рассмотрении таких векторов, как радиус-вектор , скорость v, сила F и т. п., вопрос о выборе их направления не возникает — оно вытекает естественным образом из природы самих величин. Подобные векторы называются истинными (или полярными). Векторы типа , направление которых связывается с направлением вращения, называются псевдовекторами (или аксиальными векторами). При изменении условия, например при переходе от правой системы координат к левой, направления псевдовекторов изменяются на обратные, истинные же векторы при этом остаются без изменений.

Следует иметь в виду, что векторное произведение будет псевдовектором только в том случае, когда оба перемножаемых вектора являются истинными (или оба — псевдовекторами). Векторное же произведение истинного вектора на псевдовектор будет истинным вектором. Изменение условия, определяющего направление псевдовекторов, на обратное приведет в этом случае к изменению знака перед векторным произведением и одновременно к изменению знака перед одним из сомножителей. В итоге величина, выражаемая векторным произведением, останется без изменений.

Поскольку направление векторного произведения определяется направлением вращения от первого сомножителя ко второму, результат векторного перемножения зависит от порядка сомножителей. Перестановка сомножителей вызывает изменение направления результирующего вектора на противоположное.

Таким образом, векторное произведение не обладает свойством коммутативности:

Можно доказать, что векторное произведение дистрибутивно, т. е. что

Рассмотрим векторные произведения ортов координатных осей (рис. 2.14). В соответствии с определением (2.28)

Представив перемножаемые векторы в виде (2.9) и воспользовавшись дистрибутивностью векторного произведения, получим:

Учтя соотношения (2.31), придем к следующему выражению:

Полученное выражение можно представить в виде определителя:

Смешанное произведение.

Рис. 2.14.

Рис. 2.15.

Смешанным (или скалярно-векторным) произведением трех векторов называется выражение , т. е. скалярное произведение вектора а на векторное произведение векторов b и с. Согласно определениям (2.15) и (2.28)

Здесь — угол между b и с, — угол между вектором а и ортом , определяющим направление вектора Из рис. 2.15 видно, что выражение численно равно площади основания параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах, а выражение численно равно высоте этого параллелепипеда, взятой со знаком плюс, если угол острый, и со знаком минус, если этот угол тупой. Следовательно, выражение имеет простой геометрический смысл — оно численно равно объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах (взятому со знаком плюс или минус в зависимости от величины угла ). При вычислении объема параллелепипеда результат не может зависеть от того, какая из его граней взята в качестве основания. Отсюда следует, что

Таким образом, смешанное произведение допускает циклическую перестановку сомножителей, т. е. замену каждого из сомножителей следующим за ним в цикле:

Двойное векторное произведение Рассмотрим двойное векторное произведение трех векторов а,

Всякое векторное произведение перпендикулярно к обоим сомножителям. Поэтому вектор d перпендикулярен к орту , определяющему направление вектора Отсюда вытекает, что вектор d лежит в плоскости, образованной векторами и следовательно, может быть представлен как линейная комбинация этих векторов:

(см. (2.5)). Соответствующий расчет дает, что Таким образом,

Запоминание этой формулы облегчается тем, что ее можно прочесть как «бац минус цаб».

Производная вектора. Рассмотрим вектор, который изменяется со временем по известному закону Проекции этого вектора на координатные оси представляют собой заданные функции времени. Следовательно,

(мы предполагаем, что координатные оси не поворачиваются в пространстве, так что орты осей со временем не изменяются).

Пусть за промежуток времени проекции вектора получают приращения Тогда вектор получит приращение Скорость изменения вектора а со временем можно охарактеризовать отношением

Это отношение дает среднюю скорость изменения -а в течение промежутка времени Допустим, что а изменяется со временем непрерывно, без скачков. Тогда чем меньше промежуток тем точнее величина (2.37) характеризует скорость изменения а в момент времени t, предшествующий интервалу Следовательно, скорость изменения вектора а в момент времени t равна пределу отношения (2.37), получающемуся при неограниченном уменьшении скорость изменения

Если есть некоторая функция аргумента t, то предел отношения приращения функции к приращению аргумента получающийся при стремлении к нулю, называется производной функции по t и обозначается символом Поэтому выражение (2.38) можно записать следующим образом:

Полученный результат означает, что проекции вектора на координатные оси равны производным по времени проекций вектора а:

В физике принято производные по времени обозначать символом соответствующей величины с точкой над ним, например,

Воспользовавшись таким обозначением, формуле (2.39) можно придать вид

Если в качестве взять радиус-вектор движущейся точки, то согласно (2.42)

где х, у, z суть функции от .

Дифференциалом («приращением») функции называется выражение

где — производная f по t. Согласно (2.39) дифференциал («приращение») вектора а определяется формулой

В частности,

Заметим, что приращение функции за очень малый, но конечный промежуток времени приближенно равно

(2.47)

В пределе при приближенное равенство (2.47) переходит в точное равенство (2.44).

Формулу, аналогичную (2.47), можно написать и для векторной функции:

Производная произведения функций. Рассмотрим функцию которая равна произведению скалярной функции на векторную функцию или сокращенно: Найдем приращение функции

Представив приращения функций в виде (2.47) и (2.48), получим:

откуда

В пределе при это - приближенное равенство превращается в точное. Таким образом,

Первые два слагаемых не зависят от и поэтому при переходе к пределу не изменяются. Предел третьего слагаемого равен нулю. Следовательно, заменив b на получим:

Теперь рассмотрим скалярное произведение двух векторных функций Приращение этого произведения равно:

Отсюда

или окончательно

Умножив (2.50) на получим дифференциал:

Вычислим производную и дифференциал квадрата векторной функции. Согласно (2.50) и (2.51)

Учтя, что (см. (2.16)), можно написать:

Наконец, рассмотрим производную векторного произведения функций Приращение рассматриваемой функции равно

Соответственно

Осуществив предельный переход, придем к формуле

Производная единичного вектора. Рассмотрим орт вектора а. Очевидно, что вектор может изменяться только по направлению. Пусть за очень малый промежуток времени вектор а и вместе с ним орт поворачивается на угол (рис. 2.16). При малом модуль вектора приближенно равен углу (отрезок, изображающий является основанием равнобедренного треугольника со сторонами, равными единице). Заметим, что чем меньше тем точнее соблюдается написанное нами приближенное равенство.

Рис. 2.16.

Сам вектор можно представить в виде

где — орт вектора . При стремлении к нулю орт будет поворачиваться и в пределе совпадет с перпендикулярным к единичным вектором (см. рис. 2.16).

Производная по l по определению равна

Таким образом,

Величина есть угловая скорость вращения вектора а (см. § 5). Орт лежит в той плоскости, в которой поворачивается в данный момент вектор а, причем направлен в ту сторону, в которую происходит вращение.