§ 3. Скорость

Материальная точка при своем движении описывает некоторую линию. Эта линия называется траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное движение, движение по окружности, криволинейное движение и т. п.

Пусть материальная точка (в дальнейшем для краткости мы будем называть ее частицей) переместилась вдоль некоторой траектории из точки 1 в точку 2 (рис. 3.1). Расстояние между точками 1 и 2, отсчитанное вдоль траектории, называется путем, пройденным частицей. Мы будем обозначать его буквой s.

Прямолинейный отрезок, проведенный из точки 1 в точку 2, называется перемещением частицы. Обозначим его символом . Предположим, что частица совершает последовательно два перемещения: (рис. 3.2). Суммой этих перемещений естественно назвать такое перемещение которое приводит к тому же результату, что и первые два перемещения вместе.

Рис. 3.1.

Рис. 3.2.

Таким образом, перемещения характеризуются численным значением и направлением и, кроме того, складываются по правилу параллелограмма. Отсюда следует, что перемещение есть вектор.

Рис. 3.4.

Рис. 3.4.

В обыденной жизни под скоростью понимают путь, проходимый частицей за единицу времени. Если за равные, сколь угодно малые промежутки времени частица проходит одинаковые пути, движение частицы называют равномерным. В этом случае скорость, которой обладает частица в каждый момент времени, можно вычислить, разделив путь s на время t.

В физике под скоростью понимают векторную величину, характеризующую не только быстроту перемещения частицы по траектории, но и направление, в котором движется частица в каждый момент времени.

Разобьем траекторию на бесконечно малые участк длины (рис. 3.3). Каждому из участков сопоставим бесконечнс малое перемещение Разделив это перемещение на соответствующий промежуток времени получим мгновенную скорость s данной точке траектории:

Таким образом, скорость есть производная радиуса-вектора частицы по времени. Перемещение совпадает с бесконечно малым элементом траектории. Следовательно, вектор у направлен касательной к траектории (см. рис. 3.3).

Рассуждая более строго, для получения формулы (3.1) нужно поступить следующим образом. Зафиксировав некоторый момент времени t, рассмотрим приращение радиуса-вектора за малый промежуток времени следующий за (рис. 3.4). Отношение дает среднее значение скорости за время Если брать все меньшие промежутки отношение в пределе даст значение скорости v в момент времени

Мы пришли к формуле (3.1).

Найдем модуль выражения (3.2), т. е. модуль скорости v:

В этой формуле нельзя написать вместо Вектор есть по существу разность двух векторов ( в момент минус в момент t). Поэтому его модуль можно записать только с помощью вертикальных черточек (см. (2.2)). Символ обозначает модуль приращения вектора , в то время как представляет собой приращение модуля вектора :

Обе эти величины, вообще говоря, не равны друг другу:

В этом можно убедиться на следующем примере. Пусть вектор получает такое приращение что модуль его не изменяется: (рис. 3.5).

Рис. 3.5.

Тогда приращение модуля вектора равно нулю . В то же время модуль приращения вектора , т. е. отличен от нуля (он равен длине отрезка 2—3). Сказанное справедливо для любого вектора а: в общем случае Из рис, 3.4 [видно, что путь вообще говоря, отличен по величине от модуля перемещения Однако, если брать отрезки пути и перемещения соответствующие все меньшим промежуткам времени , то различие между будет убывать и их отношение в пределе станет равным единице:

На этом основании можно заменить в формуле (3.3) через в результате чего получится выражение

Таким образом, модуль скорости равен производной пути по времени.

Очевидно, что величина, называемая в обыденной жизни скоростью, на самом деле представляет собой модуль скорости v. При равномерном движении модуль скорости остается неизменным в то время как направление вектора v изменяется произвольным образом (в частности, может быть постоянным).

В соответствии с формулой (3.1) элементарное перемещение частицы равно

(3.5)

Иногда для наглядности мы будем обозначать элементарное перемещение символом , т. е. писать (3.5) в виде

Вектор скорости, как и всякий другой вектор, можно представить в виде

где — проекции вектора v на координатные оси. Вместе с тем равный v вектор согласно формуле (2.43) выглядит следующим образом:

Из сравнения выражений (3.7) и (3.8) вытекает, что

Следовательно, проекция вектора скорости на координатную ось равна производной по времени соответствующей координаты движущейся частицы.

Приняв во внимание (2.10), получим формулу:

Вектор скорости можно представить в виде , где v — модуль скорости, а — орт вектора v. Введем орт касательной к траектории , условившись направлять его в ту же сторону, что и v. Тогда, очевидно, орты совпадут, так что можно написать следующее выражение:

Получим еще одно выражение для v. С этой целью подставим в формулу (3.1) радиус-вектор в виде . Согласно (2.49)

Для простоты ограничимся случаем, когда траектория является плоской кривой, т. е. такой кривой, все точки которой лежат в одной плоскости. Примем эту плоскость за плоскость х, у. В формуле (3.12) вектор v оказался представленным в виде суммы двух составляющих (рис. 3.6). Первая составляющая, которую мы обозначим равна

Она направлена вдоль радиуса-вектора и характеризует быстроту изменения модуля . Вторая составляющая, которую мы обозначим , равна

Она характеризует быстроту изменения радиуса-вектора по направлению.

Воспользовавшись формулой (2.56), можно написать, что

где — угол между радиусом-вектором и осью — перпендикулярный к радиусу-вектору орт, направленный в сторону возрастания угла (в формуле (2.56) этот орт был обозначен Подставив это значение в (3.14), получим

(3.15)

Мы ввели обозначения и чтобы подчеркнуть, что составляющая и соответствующий орт связаны с изменением угла

Рис. 3.6.

Очевидно, что векторы взаимно перпендикулярны: Следовательно,

Рассмотрим вопрос о том, как, зная величину скорости в каждый момент времени, вычислить путь, проходимый частицей с момента времени до момента Разобьем промежуток времени на N малых, не обязательно одинаковых промежутков: Весь путь s, пройденный частицей, можно представить как сумму путей пройденных за соответствующие промежутки времени :

В соответствии с формулой (3.4) каждое из слагаемых может быть приближенно представлено в виде

где — промежуток времени, за который был пройден путь — одно из значений скорости за время Следовательно,

Написанное равенство выполняется тем точнее, чем меньше промежутки времени . В пределе при стремлении всех нулю (количество промежутков будет при этом неограниченно возрастать) приближенное, равенство станет точным:

Полученное выражение представляет собой определенный интеграл от функции взятый в пределах от до . Таким образом, путь, проходимый частицей за промежуток времени от до равен

Подчеркнем, что здесь идет речь о модуле скорости. Если взять интеграл от самой скорости , то получится вектор перемещения чаетицы из точки, в которой она была в момент в точку, в которой она оказалась в момент

(см. (3.5)).

Если изобразить график зависимости а от t (рис. 3.7), то пройденный путь можно представить как площадь фигуры, ограниченной кривой и прямыми Действительно, произведение численно равно площади t-й полоски. Сумма (3.17) равна площади, ограниченной сверху ломаной линией, образованной верхними краями всех подобных полосок. При стремлении всех к нулю ширина полосок убывает (одновременно число их растет), и ломаная линия в пределе сольется с кривой v=v(t). Таким образом, путь, пройденный за время с момента до момента численно равен площади, ограниченной графиком функции осью времени t и прямыми

Рис. 3.7.

Заметим, что среднее значение модуля скорости за время от до по определению равно

Подставив сюда выражение (3.18) для s, получим:

Аналогично вычисляются средние значения любых скалярных или векторных функций. Например, среднее значение скорости равно

(см. (3.19)). Среднее значение функции у на промежутке от до определяется выражением