§ 65. Интервал

В § 62 было указано, что каждому событию можно сопоставить в воображаемом четырехмерном пространстве мировую точку с ординатами ct, х, у, z. Пусть одно событие имеет координаты другое — координаты Введем обозначения: и т. д.

Напомним, что вследствие качественного различия между временем и пространством квадрат разности временных координат (с и квадраты разностей пространственных координат входят в выражение для квадрата «расстояния» между событиями (точнее, между отвечающими событиям мировыми точками) с разными знаками:

Определяемая этой формулой величина называется интервалом между событиями.

Введя расстояние между точками обычного трехмерного пространства, в которых произошли рассматриваемые события, выражение для интервала можно представить в виде

Легко убедиться в том, что интервал между двумя данными событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета. Именно это обстоятельство послужило основанием для того, чтобы считать его аналогом расстояния между двумя точками в обычном трехмерном пространстве не изменяет сноего значения при переходе от одной трёхмерной системы отсчета к другой).

Пусть в системе отсчета К. квадрат интервала определяется формулой (65.1). Квадрат интервала между теми же событиями в системе К равен

Согласно формулам (63.16)

Подставив эти значения в формулу (65.3), после несложных преобразований получим, что , т. е. что

Таким образом, интервал является инвариантом по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. В предыдущем параграфе мы видели, что промежутки времени и длины по отношению к такому переходу не являются инвариантами. Следовательно, каждое из слагаемых, образующих величину изменяется при переходе от одной системы к другой; сама же величина остается неизменной.

Интервал между двумя событиями, происшедшими с некоторой частицей, находится в простом соотношении с промежутком собственного времени между этими событиями.

Согласно промежуток собственного времени связан с промежутком времени отсчитанным по часам системы, относительно которой частица движется со скоростью V, формулой

Преобразуем эту формулу следующим образом:

Здесь есть путь, проходимый частицей за время Сравнение с (65.2) дает, что

где — интервал между событиями, разделенными промежутком времени

Из формулы (65.4) вытекает, что промежуток собственного времени пропорционален интервалу между событиями. Интервал является инвариантом. Следовательно, собственное время также является инвариантом, т. е. не зависит от того, в какой системе отсчета наблюдается движение данного тела.

В соответствии с формулой (65.2) интервал может быть вещественным (если с ) либо мнимым (если с ), в частном случае интервал может оказаться равным нулю (если с ). Последний случай имеет место для событий, заключающихся в испускании светового сигнала из точки в момент U и приходе этого сигнала в точку в момент Поскольку в этом случае интервал между событиями равен нулю.

В снлу инвариантности интервал, вещественный (мнимый) в одной какой-либо системе отсчета К, будет вещественным (мнимым) в любой другой инерциальной системе К.

В случае вещественного интервала

Из этого соотношения следует, что можно найти такую систему в которой , т. е. оба события оказываются пространственно совмещенными. Однако не существует такой системы отсчета, в которой было бы (при таком значении интервал стал бы мнимым). Таким образом, события, разделенные вещественным интервалом, ни в одной из систем отсчета не могут стать одновременными. По этой причине вещественные интервалы называются времениподобными.

Заметим, что события, происходящие с одной и той же частицей (имеется в виду частица с отличной от нуля массой покоя), могут быть разделены только времениподобным интервалом. Действительно, скорость такой частицы v всегда меньше с; следовательно, путь пройденный частицей, меньше с откуда вытекает, что

Согласно последней из формул (63.16)

Если промежутки разделяют события, происшедшее стой же самой частицей, то дает компоненту скорости частицы Поэтому формулу (65.5) можно при этом условии записать в виде

Поскольку и меньше единицы, скобка в правой части равенства для всех систем К положительна. Отсюда следует, что знак одинаков со знаком Это означает, что два события, происходящие с некоторой частицей, во всех системах совершаются в одинаковой последовательности. Например, рождение частицы во всех системах отсчета предшествует ее распаду.

В случае мнймого интервала

Отсюда вытекает, что можно найти такую систему в которой т. е. оба события происходят в один и тот же момент времени Однако не существует такой системы отсчета, в которой было бы (при таком значении интервал стал бы вещественным). Таким образом, события, разделенные мнимым интервалом, ни в одной из систем отсчета не могут оказаться пространственно совмещенными. По этой причине мнимые интервалы называются пространственноподобными.

Расстояние между точками, в которых происходят события, разделенные пространственноподобным интервалом, превышает с Поэтому рассматриваемые события никак не могут оказать влияние друг на друга, т. е. не могут быть причинно связанными друг с другом (напомним, что не существует воздействий, распространяющихся со скоростью, большей чем с).

Причинно связанные события могут быть разделены лишь времениподобным либо нулевым интервалом.