§ 20. Работа

Рассмотрим величину, называемую работой, более подробно. Выражение (19.7) можно представить в виде:

где — угол между направлением силы и направлением перемещения точки приложения силы.

Если сила и направление перемещения образуют острый угол работа положительна. Если угол а — тупой работа отрицательна.

При работа равна нулю. Последнее обстоятельство особенно отчетливо показывает, что понятие работы в механике существенно отличается от обыденного представления о работе. В обыденном понимании всякое усилие, в частности мускульное напряжение, всегда сопровождается совершением работы. Например, для того чтобы держать тяжелый груз, стоя неподвижно, а тем более для того, чтобы перенести этот груз по горизонтальному пути, носильщик затрачивает много усилий, т. е. «совершает работу». Однако работа как механическая величина в этих случаях равна нулю.

На рис. 20.1 показан график проекции силы на направление перемещения как функции положения частицы на траектории (ось абсцисс можно назвать осью s; длина отрезка этой оси между точками 1 и 2 равна полной длине пути). Из рисунка видно, что элементарная работа численно равна площади заштрихованной полоски, а работа А на пути 1— 2 численно равна площади фигуры, ограниченной кривой вертикальными прямыми 1 и 2 и осью s (ср. с рис. 3.7).

Применим этот результат для нахождения работы, совершаемой при деформации пружины, подчиняющейся закону Гука (см. рис. 14.2 и формулу (14.2)). Начнем с растяжения пружины.

Рис. 20.1,

Рис. 20.2.

Рис. 20.3.

Растяжение будем производить очень медленно, чтобы силу с которой мы действуем на пружину можно было считать все время равной по величине упругой силе . Тогда где x — удлинение пружины (рис. 20.2).

Из рисунка видно, что работа, которую нужно совершить, чтобы вызвать удлинение пружины х, равна

При сжатии пружины на величину х совершается такая же по величине и знаку работа, как и при растяжении на величину х. Проекция силы в этом случае отрицательна направлена влево, растет вправо, см. рис. 20.2), все тоже отрицательны, вследствие чего произведение положительно.

Аналогично можно найти выражение для работы, совершаемой при упругом растяжении или сжатии стержня. В соответствии с формулой (14.7) эта работа равна

где — объем стержня, а — относительное удлинение (см. (14.3)).

Пусть на тело действуют одновременно несколько сил, результирующая которых равна Из дистрибутивности скалярного произведения векторов (см. (2.22)) вытекает, что работа совершаемая результирующей силой на пути может быть представлена в виде

Это означает, что работа результирующей нескольких сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности.

Элементарное перемещение может быть представлено как Поэтому выражению для элементарной работы можно придать вид

Тогда работа, совершаемая за промежуток времени от до может быть вычислена по формуле

В соответствии с (2.21) , где -проекция элементарного перемещения на направление силы F. Поэтому формулу для работы можно написать следующим образом:

Если сила имеет постоянные величину и направление (рис. 20.3), вектор F в выражении для работы можно вынести за знак интеграла, в результате чего получится формула

где s — вектор перемещения из точки 1 в точку 2, a — его проекция на направление силы.

Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью. Если за время совершается работа то мощность равна

Взяв в виде (20.5), получим для мощности выражение

(20.10)

согласно которому мощность равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения силы.

Единицы работы и мощности. В качестве единицы работы служит работа, совершаемая силой, равной единице и действующей в направлении перемещения, на пути, равном единице. Соответственно

1) в СИ единицей работы является джоуль (Дж), который равен работе, совершаемой силой в 1 Н на пути в 1 м;

2) в СГС-системе — равный работе, совершаемой силой в 1 дин на пути в 1 см;

3) в МКГСС-системе — килограмм-сила-метр (кгс-м), равный работе, совершаемой силой в 1 кгс на пути в 1 м.

Между единицами работы имеются соотношения:

За единицу мощности принимается такая мощность, при которой в единицу времени совершается работа, равная единице. В СИ единицей мощности является ватт (Вт), равный джоулю в секунду (Дж/с). Единица мощности в СГС-системе (эрг/с) спирального названия не имеет. Соотношение между ваттом и эрг/с:

В МКГСС-системе единицей мощности служит лошадиная сила равная 75 килограмм-сила-метрам в секунду, 1 л. с.= 736 Вт.

Кроме указанных единиц измерения, применяются кратные и дольные единицы. Их наименования и обозначения образуются из наименования и обозначения основной единицы и приставок, указанных в табл. 20.1.

В таблице указаны также множители, с помощью которых соответствующие кратные и дольные единицы образуются из основных.

Таблица 20.1. Наименования и обозначения приставок, употребляемых для образования кратных и дольных единиц

Например, единица работы, именуемая мегаджоулем, эквивалентна джоулям ( Дж), а единица мощности, именуемая микроваттом, эквивалентна ватта ). Аналогично: .