§ 43. Применение закона динамики твердого тела

Движение твердого тела описывается двумя уравнениями:

(см. формулы (37.5) и (38.1). Следовательно, движение тела определяется действующими на него внешними силами фыаав этих сил.

Моменты сил можно брать относительно любой неподвижной или движущейся без ускорения точки. Взяв момент внешних сил относительно точки, движущейся с ускорением, мы по существу, дописали бы уравнение (43.2) в неинерциальной системе отсчета. В этом случае, кроме внешних сил обусловленных взаимодействием данного тела с другими телами нужно учытывать силы инерции и их моменты.

Точки приложения сил, действукщих на тело, можно переносить вдоль линий действия сил, поскольку при этом ни сумма сил, ни их моменты не изменяются (при перенесении силы вдоль линии ее действия плечо относительно любой точки остается неизменным).

Рис. 43.1.

Это позволяет заменять несколько сил одной силой, эквивалентной им в отношении воздействия, оказываемого на тело. Так, например, две силы , лежащие в одной плоскости (рис. 43.1), можно заменить эквивалентной им силой F, точку приложения которой можно также выбрать произвольно на направлении, вдоль которого она действует.

Совокупность действующих на тело параллельных сил можно заменять их равнодействующей, равной сумме всех сил и приложенной к такой точке тела, чтобы ее момент был равен сумме моментов отдельных сил.

Найдем равнодёйствующую сил тяжести. Эта силы приложены ко всем элементам тела, причем на элементарную массу действует сила . Сумма сил равна где масса тела. Суммарный момент сил тяжести относительно некоторой точки О равен

где радиус-вектор, определяющий положение, массы - по отношению к точке О. Перенеся скалярный множитель из второго сомножителя в первый и вынося затем общий множитель g за знак суммы получим:

Сумма, стоящая в круглых скобках, равна произведению массы тела на радиус-вектор центра масс С. Поэтому

Таким образом, суммарный момент сил тяжести относительно произвольной точки О совпадает с моментом силы приложенной к точке С. Итак, равнодействующая сил тяжести и равна и приложена к центру масс тела. Отметим, что это справедливо лишь в том случае, если в пределах тела поле сил тяжести однородно (при выводе формулы (43.3) мы считали, что ).

Из (43.3) вытекает, что момент сил тяжести относительно центра масс равен нулю (в этом случае ). Точка, относительно которой момент сил тяжести равен нулю, называется центром тяжести тела. Таким образом, в случае, когда поле тяготения в пределах тела однородно, центр тяжести совпадает с центром масс.

В случае однородного поля тяготения силы тяжести, приложенные к различным элементарным: массам, имеют одийаковое направление и пропорциональны Таким же свойством обладают силы инерции, возникающие в неинерциальной системе отсчета, движущейся поступательно относительно инерциальных систем. Действительно, в этом случае силы инерций, приложенные к элементарным массам равны — , где а — ускорение неинерциальной системы (см. (32.2)).

Повторив рассуждения, приведшие нас к формуле (43.3) (при этом нужно заменить на ), можно показать, что результирующая сил инерции равна и приложена к центру масс тела. Подчеркнем, что это справедливо лишь для систем отсчета, движущихся поступательно.

Относительно центра масс момент сил инерции, (в поступательно движущейся системе) равен нулю. Поэтому при составлении уравнения (43.2) для моментов, взятых относительно центра масс, силы инерция учитывать не нужно.

Рис. 43.2.

Рис. 43.3.

Выясним условия равновесия твердого тела. Тело может оставаться в состояния покоя в том случае, если нет причин, приводящих к возникновению поступательного движения или вращения. Согласно уравненном (43.1) и (43.2) для этого необходимо и достаточно выполнения двух условий:

1) сумма всех внешних сил, приложенных к телу, должна быть равна нулю:

2) результирующий момент внешних сил относительно любой точки дсшкея быть равен нулю:

При выполнении условия (43.4) из равенства нулю суммы моментов для одной какой-либо точки О вытекает равенство нулю суммы моментов относительно любой другой точки . Действительно, пусть для некоторой точки О

Возьмем другую точку положение которой относительно О определяется вектором . Из рис. 43.2 видно, что . Следовательно, сумма моментов относительно точки О равна

Согласно (43.6) первая сумма равна нулю. Вынеся во второй сумме постоянный множитель b за скобки, получим выражение — которое в силу (43.4) также равно нулю.

Таким образом из (43.40 и условия (43.6) для точки О вытекает условие (46.6) для точки О.

Отметим, что векторное условие (43.5) эквивалентно трем скалярным:

Итак, условия равновесия твердого тела определяются уравнениями (43.4), и (43.5) или уравнениями (43.4) и (43.7).

В заключение рассмотрим пример на применение законов динамики твердого тела. Пусть однородный цилиндр радиуса R и массы скатывается без скольжения с наклонной плоскости (рис. 43.3). Угол наклона плоскости равна а высота Начальная скорость цилиндра равна нулю. Требуется найти скорость центра масс и угловую скорость вращения цилиндра и момент выхода цилиндра на горизонтальной участок. Дадим два варианта решения.

Первый способ решения. Цилиндр будет двигаться под действием трех сил: силы силы трения и силы нормального давления (см: § 17). Ускорение цилиндра в направлении нормали к плоскости равно нулю. Следовательно, сила нормального давления равна по модулю нормальной составляющей силы Р, имеющей величину

Трение между цилиндром и плоскостью возникает в точках их соприкосновения. При отсутствий скольжения эти точки цилиндра неподвижны (они образуют мгновенную ось вращения), следовательно, сила трения, о которой идет речь, является силой трени покоя. Из § 15 известно, - что сила трения покоя может иметь величину в пределах от нуля до максимального значения которое определяется произведением коэффициента трения на силу нормального давления, прижимающую друг к другу соприкасающиеся тела . В рассматриваемом случае сила трения принимает такое значение, чтобы отсутствовало скольжение. Скольжение при качении цилиндра по плоскости будет отсутствовать при условии, что линейная скорость точек соприкосновения будет равна нулю, что в свою очередь выполняется, если скорость инерции равна в каждый момент времени угловой скорсти вращения цилиндра , умноженной на радиус цилиндра

Соответственно ускорение центра масс будет равно угловому ускорению , умноженному на :

Если необходимая для выполнения условий (43.8) и (43.9) сила трения не превышает максимального значения F, цилиндр будет скатываться без скольжения. В противном случае скатывание без скольжения невозможно.

Уравнение (43.1) в данном случае имеет вид

Спроектировав его на направление движения, получим

Для однородного цилиндра, вращающегося вокруг оси симметрии, Поэтому уравнение (43.2) можно писать в виде

(43.11)

где — ось цилиндра (см. (38.8)). В уравнении (43.11), написанном относительно оси цилиндра, отличным от нуля будет только момент силы трения. Остальные силы, В том числе и результирующая сил инерции, имеют направления, проходящие через ось цилиндра, вследствие него их моменты относительно этой оси равны нулю.

Таким образом, уравнение (43.11) запишется следующим образом:

Здесь — момент инерции цилиндра относительно его оси, равный

В уравнениях (43.10) и (43.12) содержатся три неизвестные величины: . Последние две величины связаны условием (43.9), вытекающим из отсутствием скольжения. Решив совместно уравнения (43.9), (43.10) и (43.12) найдем с учетом того, что значения искомых величин

Теперь, когда мы знаем величину силы трения покоя, необходимо для скатывания цилиндра без скольжения, можио найти условие при котором такое скатывание возможно. Для скатывания без скольжения тела (43.12) не должны превышать максимального значения силы трения

Отсюда

Следовательно, если тангенс угла наклона плоскости превышает утроенное значение коэффициента трения покоя между цилиндром и плоскостью, скатывание не может происходить без скольжения.

Из постоянства (43.14) следует, что центр масс цилиндра движется равноускоренно. За время скатывания цилиндр проходит путь . При равноускоренном движении путь ускорение и время связаны соотношением .

Подставив значение получим, что

откуда с учетом значения (43.14) для приходим к формуле

Это время, как и не зависит от массы и радиуса цилиндра оно определяется только углом наклона плоскости а и разностью уровней ее краев

Скорость центра масс при выходе цилиндра на горизонтальный участок будет равна:

а угловая скорость цилиндра

Отметим, что сила трения покоя работы над цилиндром не совершает, так как точки цилиндра, к которым положена эта сила, в каждый момент времени неподвижны (см. (20.5)).

Для горизонтальной плоскости по формулам (43.14) и (43.15) получается, что цилиндр, если ему сообщить предварительно некоторую поступательную и соответствующую (такую, чтобы не было скольжения) угловую скорость, будет двигаться без ускорения. На самом деле движение будет замедленным. Это замедление обусловливается силой трения качения, которая направлена так, что ее момент уменьшает угловую скорость а сама сила вызывает соответствуяацее (опять-таки такое, чтобы не возникало скольжения) замедление: центра масс. Сила трения качения совершает над катящимся телом отрицательную работу.

При решении задачи о скатывании цилиндра с наклонной плоскости трением качения мы пренебрегали.

Второй способ решения. Поскольку сила трения, работы не совершает (трением качения пренебрегаем), полная энергия цилиндра остается постоянной. В начальный момент кинетическая энергия равна нулю; потенциальная энергия равна . В конце скатывания потенциальная энергия становится равной нулю, зато появляется кинетическая энергия, равная, (см. (42.3))

Так как скольжение отсутствует, связаны соотношением Подставив в выражение для кинетической энергии получим:

Полная энергия в начале и в конце скатывания должна быть одинакова:

откуда

а угловая скорость

Обратите внимание, насколько второй способ решения проще первого.