§ 19. Кинетическая энергия
Приступим к нахождению аддитивных интегралов движения. Для начала рассмотрим простейшую систему, состоящую из одной частицы (материальной точки).
Напишем уравнение движения частицы:
Здесь F — результирующая сил, действующих на частицу.
Умножив уравнение (19.1) на перемещение частицы 
получим:
Произведение 
представляет собой приращение скорости частицы 
за время 
Соответственно
(см. (2.54)). Произведя такую замену в (19.2), придем к соотношению
Если система замкнута, т. е. F=0, то 
, а сама величина
остается постоянной. Эта величина называется кинетической энергией частицы. В случае изолированной частицы кинетическая, энергия является интегралом движения.
Умножив на та числитель и знаменатель выражения (19,5) и приняв во внимание, что произведение mv равно импульсу тела 
, выражению для кинетической энергии можно придать вид:
Если на частицу действует сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно (19.4) приращение кинетической энергии частицы за время 
равно скалярному произведению 
— перемещение частицы за время 
. Величина
называется работой, совершаемой силой F на пути 
есть модуль перемещения 
Скалярное произведение (19.7) можно представить в виде произведения проекции силы на направление перемещения 
и элементарного пути 
Следовательно, можно написать, что
Из сказанного ясно, что работа характеризует изменение энергии, обусловленное действием силы на движущуюся частицу.
Проинтегрируем соотношение (19.4) вдоль некоторой траектории от точки 1 до точки 2:
Левая часть представляет собой разность значений кинетической энергии в точках 2 и 1, т. е. приращение кинетической энергии на пути 1—2. Учтя это, получим:
Величина
(19.10)
есть работа силы F на пути 1—2. Иногда мы будем обозначать эту работу символом 
вместо А.
Итак, работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы.
(19.11)
Из (19.11) следует, что энергия имеет такую же размерность, как и работа. В соответствии с этим энергия измеряется в тех же единицах, что и работа (см. следующий параграф).
