§ 56. Биения
Особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. Как мы сейчас покажем, результирующее движение при этих условиях можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется биениями.
Обозначим частоту одного из колебаний буквой 
, частоту второго колебания через 
По условию 
.
Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными а. Чтобы не усложнять без надобности формул, допустим, что начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний будут иметь следующий вид:
Складывая эти выражения и применяя тригонометрическую формулу для суммы косинусов, получаем:
(во втором множителе пренебрегаем членом 
по сравнению с со).
Рис. 56.1.
График функции (56.1) изображён на рис. 56.1, а. График построен для 
.
Заключенный в скобки множитель в формуле (56.1) изменяется гораздо медленнее, чем второй множитель. Ввиду условия 
за то время, за которое множитель 
совершает несколько полных колебаний, множитель, стоящий в скобках, почти не изменится. Это дает нам основание рассматривать колебание (56.1) как гармоническое колебание частоты 
амплитуда которого изменяется по некоторому периодическому закону. Выражением этого закона не может быть множитель, стоящий в скобках, так как он изменяется в пределах от 
до 
в то время как амплитуда по определению — положительная величина. График амплитуды показан на рис. 56.1, б.
Рис. 56.2.
Аналитическое выражение амплитуды, очевидно, имеет вид
Функция (56.2) — периодическая функция с частотой, в 2 раза превышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля (см. рис. 56.2, на котором сопоставлены графики косинуса и его модуля), т. е. с частотой 
Таким образом, частота пульсаций амплитуды — ее называют частотой биений — равна разности частот складываемых колебаний.
Отметим, что множитель 
не только определяет амплитуду, но и влияет на фазу колебания. Это проявляется, например, в том, что отклонения, соответствующие соседним максимумам амплитуды, имеют противоположные знаки (см. точки 
на рис. 56.1, а).
