§ 60. Вынужденные колебания

В случае, когда вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону, колебания описываются дифференциальным уравнением

(см. (50.13)). Здесь — коэффициент затухания, собственная частота системы (см. формулы (58.2)), — амплитуда вынуждающей силы), — частота силы.

Уравнение (60.1) является неоднородным. Согласно теореме (52.8) общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения мы уже знаем (см. функцию (58.7), являющуюся общим решением уравнения (58.1)). Оно имеет вид

где — произвольные постоянные.

Остается найти частное (не содержащее произвольных постоянных) решение уравнения (60.1). Воспользуемся для этого приемом, описанным в конце § 52. Прибавим к функции, стоящей в правой части уравнения (60.1), мнимую функцию после чего представим правую часть в виде (см. формулу (51.9)). Таким образом, мы приходим к уравнению:

Это уравнение легче решить, чем уравнение (60.1), так как экспоненту проще дифференцировать и интегрировать, чем тригонометрические функции.

Попробуем искать частное решение уравнения (60.3) в виде

где а — некоторое комплексное число. Функция (60.4) также комплексная, что отмечено шляпкой над х. Продифференцировав эту функцию по t, получим:

(60.5)

Подстановка выражений (60.4) и (60.5) в уравнение (60.3) приводит после сокращения на общий множитель к алгебраическому уравнению:

Отсюда

Мы нашли значение а, при котором функция (60.4) удовлетворяет уравнению (60.3). Представим комплексное число, стоящее в знаменателе, в показательной форме:

Согласно формулам (51.3)

(60.8)

Замена в (60.6) знаменателя в соответствии с (60.7) дает

Подставив это значение а в (60.4), получим частное решение уравнения (60.3):

Наконец, взяв вещественную часть этой функции, получим частное решение уравнения (60.1):

Подстановка значения , а также значений (60.8) для приводит к окончательному выражению:

Отметим, что функция (60.9) не содержит произвольных постоянных.

Получим частное решение уравнения (60.1) еще одним способом — с помощью векторной диаграммы. Предположим, что частное решение уравнения (60.1) имеет вид

(60.10)

Тогда

(60.11)

Подстановка выражений (60.10) — (60.12) в уравнение (60.1) приводит к соотношению

(60.13)

Из (60.13) следует, что постоянные должны иметь такие значения, чтобы гармоническая функция была равна сумме трех гармонических функций, стоящих в левой части уравнения.

Если изобразить функцию вектором длины направленным вправо, то функция изобразится вектором длины (рис. 60.1), повернутым относительно вектора против часовой стрелки на угол (см. § 55), а функция — вектором длины повернутым относительно вектора на угол

Рис. 60.1.

Чтобы уравнение (60.13) было удовлетворено, сумма трех перечисленных векторов должна совпадать с вектором, изображающим функцию Из рис. 60.1, а видно, что такое совпадение возможно лишь при значении амплитуды а, которое определяется условием:

откуда

(60.14)

(мы заменили отношением ). Рис. 60.1, а отвечает случаю Из рис. 60.1, б, отвечающего случаю получается такое же значение а.

Рис. 60.1 позволяет получить также и значение которое представляет собой величину отставания по фазе вынужденного колебания (60.10) от обусловившей его вынуждающей силы. Из рисунка следует, что

(60.15)

Подставив в (60.10) значения а и определяемые формулами (60.14) и (60.15), получим функцию (60.9).

Функция (60.9) в сумме с (60.2) дает общее решение уравнения (60.1), описывающее поведение системы при вынужденных колебаниях. Слагаемое (60.2) играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний (рис. 60.2).

Стечением времени из-за экспоненциального множителя роль слагаемого (60.2) все больше уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя в решении лишь слагаемое (60.9).

Таким образом, функция (60.9) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда (60.14) вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Для данной колебательной системы (определенных и Р) амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания также зависит от частоты вынуждающей силы (см. (60.15)).

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота -резонансной частотой.

Чтобы определить резонансную частоту (орез, нужно найти максимум функции (60.14) или, что то же самое, минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе. Продифференцировав это выражение по со и приравняв нулю, мы получим условие, определяющее :

(60.16)

Уравнение (60.16) имеет три решения: и Решение, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное должно быть отброшено, как не имеющее физического смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, для резонансной частоты получается одно значение:

(60.17)

Рис. 60.2.

Подставив это значение частоты в (60.14), получим выражение для амплитуды при резонансе:

(60-18)

Из (60.18) следует, что при отсутствии сопротивления среды амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность. Согласно (60.17) резонансная частота при тех же условиях (при ) совпадает с собственной частотой колебаний системы .

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от - частоты вынуждающей силы (или, что то же самое, от частоты колебаний) показана графически на рис. 60.3. Отдельные кривые на графике соответствуют различным значениям параметра р. В соответствии с (60.17) и (60.18), чем меньше (3, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. При очень большом затухании (таком, что ) выражение для резонансной частоты становится мнимым. Это означает, что при этих условиях резонанс не наблюдается — с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает (см. нижнюю кривую на рис. 60.3). Изображенная на рис. 60.3 совокупность графиков функции (60.14), соответствующих различным значениям параметра , называется резонансными кривыми.

По поводу резонансных кривых можно сделать еще следующие замечания. При стремлении со к нулю все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному , т. е. . Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы величины Гц. При стремлении со к бесконечности все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия. Наконец, отметим, что чем меньше р, тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем «острее» получается максимум.

Из формулы (60.18) вытекает, что при малом затухании (т. е. при ) амплитуда при резонансе приближенно равна

Разделим это выражение на смещение от положения равновесия под действием постоянной силы , равное .

Рис. 60.3.

В результате получим:

(см. формулу (58.10)). Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы (это справедливо лишь при небольшом затухании).

Из рис. 60.1 видно, что вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания лежит в пределах от 0 до . Зависимость от со при разных значениях показана графически на рис. 60.4. Частоте соответствует Резонансная частота меньше собственной (см. (60.17)). Следовательно, в момент резонанса При слабом затухании и значение при резонансе можно считать равным

Рис. 60.4.

С явлением резонанса приходится считаться при конструировании машин и различного рода сооружений.

Собственная частота колебаний этих устройств ни в коем случае не должна быть близка к частоте возможных внешних воздействий. Так, например, собственная частота вибраций корпуса корабля или крыльев самолета должна сильно отличаться от частоты колебаний, которые могут быть возбуждены вращением гребного винта или пропеллера. В противном случае возникают вибрации, которые могут вызвать катастрофу. Известны случаи, когда обрушивались мосты при прохождении по ним марширующих колонн солдат. Это происходило потому, что собственная частота колебаний моста оказывалась близкой к частоте, с которой шагала колонна.

Вместе с тем явление резонанса часто оказывается весьма полезным, особенно в акустике, радиотехнике и т. д.