III. Симметричные тензоры второго ранга

Формулы преобразовании компонент вектора. Возьмем две системы координат К и К, ориентированные относительно друг друга произвольным образом. Базис системы К образуют орты системы К — орты (мы будем обозначать декартовы координаты через вместо х, у, z). В системе некоторый вектор а можно представить в виде в системе К — в виде — компоненты вектора в соответствующих системах; индекс к пробегает в обеих суммах значения 1, 2, 3). Очевидно, что

Умножим все члены равенства (III. 1) на орт

В соответствия с формулой (2.19) . Следовательно,

Выражение представляет собой косинус угла между осью системы К и осью системы К, Т. е. Введем обозначение

Тогда равенство примет вид

Зная компоненты вектора а в системе К и взаимную ориентацию систем К и К (т. е. совокупность девяти коэффициентов ), можно по формулам (III.3) вычислить компоненты вектора а в системе К.

Согласно строгому определению вектором называется совокупность трех величин которые при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам в которых коэффициенты имеют значения (III.2) (см. подстрочное примечание на стр. 20).

Отметим, что из девяти коэффициентов независимыми являются только три. Это согласуется с тем, что ориентация тела в пространстве определяется тремя углами (см. рис. 97.1 и свяаанный с ним текст).

Определение тензора второго ранга. Тензором Т второго ранга называется совокупность девяти величин

(III.4)

которые при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам

(111.5)

в которых коэффициенты имеют значения (III.2) (см. подстрочное примечание на стр, 146). Величины в (III.4) называются компонентами тензора.

Аналогично определяются и тензоры других рангов.

Тензором ранга называется совокупность величин (всего и индексов), которые при перекоде от одной системы координат к другой преобразуются по формулам, отличающимся от лишь тем, что в них содержатся множителей вида и суммирование производится по индексам. В соответствии с таким определением вектор представляет собой тензор первого ранга, а скаляр тензор нулевого ранга.

Произведением вектора а на тензор второго ранга Т, называется вектор b с компонентами

Симметричный тензор второго ранга. Тензор называется симметричным, еслн его компоненты удовлетворяют условию: . В дальнейшем симметричный тензор мы будем обозначать символом S, а его компоненты — символом Независимыми у симметричного тензора являются только шесть компонент: три диагональные вида и, например, компоненты

Симметричный тензор второго ранга допускает важную геометрическую интерпретацию. Прежде чем перейти к ней, отметим, векторуамоино сопоставить не только направленный отрезок, но и построенную по определенным правилам плоскость.

Совместим начало отрезка, изображающего вектор, с началом координат О (рис. II1.1). Тогда перпендикулярная к вектору плоскость, отстоящая от точки О на расстояние, равное 11а, полностью определит как направление, так и модуль вектора а. Из рис. III.1 видно, что проекция радиуса-вектора любой точки этой плоскости на направление вектора равна Поэтому

Таким образом, уравнение плоскости имеет вид или в развернутом виде

Отметим, что положение плоскости (III.7) в пространстве не зависит от выбора системы координат. При переходе к другой системе изменяются как компоненты вектора так и координаты данной точки плоскости, причем таким образом, что соотношение (II 1.7) остается в силе.

Симметричному тензору второго ранга можно сопоставить поверхность второго порядка, определяемую уравнением

(III.8)

Компоненты в физических приложениях бьшают больше нуля. При этом условии уравнение (II 1.8) определяет эллипсоид. Ориентация эллипсоида в пространстве не зависит от выбора системы координат. Тензорный эллипсоид «связан» с объектом (телом либо средой), свойства которого описывает тензор. При переходе к другой системе координат изменяются как компоненты тензора, так и координаты данной точки эллипсоида, причем таким образом, что соотношение (II 1.8) остается в силе.

Эллипсоид, определяемый уравнением (III .8), является геометрическим образом симметричного тензора второго ранга, подобно тому, как направленный отрезок или плоскость (т. е. поверхность первого порядка) дает геометрический образ вектора (т. е. тензора первого ранга).

Рис. III.1.

Из аналитической геометрии известно, что если оси координат направить вдоль полуосей эллипсоида а, с, то уравнение эллипсоида упрощается и принимает вид:

Отсюда следует, что для каждого симметричного тензора второго ранга имеются такие направления координатных осей, при которых равные компонентам тензора коэффициенты в уравнении (II 1.8) обращаются в нуль. Такие направления называются главными осями тензора. Если оси координат направить вдоль главных осей, тензор принимает диагональный вид:

Тензор вида (III. 10) называется приведениым к главный осям, а диагональные компоненты в этом случае называются главным» значениями тензора. Мы написали при диагональных компонентах в (III.10) только один индекс, чтобы отличить их от диагональных, компонент «преде-ленных в координатных осях, не совпадающих с главными осями тензора.

Уравнение тензорного эллипсоида, написанное в главных осях, имеет вид

Из сравнения уравнений (III.9) и (III. 11) получаются для полуосей тензорного эллипсоида значения

(111.12)

Найдем смысл расстояния произвольной точки эллипсоида Р от центра О (рис. II1.2). Для этого направим вдоль ОР ось некоторой координатной системы

Рис. III.2.

Координаты точки Р в этой системе равны (). Подстановка эти значения в уравнение (111.8) приводит к соотношению откуда

где — первая диагональная компонента тензора в системе

Обозначим углы, образуемые осью с главными осями тензора, через (см. рис. 111.2). Тогда координаты точки Р в главных осях будут равны

Подстановка этих значений в дает

Согласно (III.13) Таким образом, мы приходим к соотношению

(III.14)

которое связывает компонёнту системе К с главными значениями тензора и углами, образуемыми осью с главными осями тензора.

В случае, когда два главных значения тензора совпадают (например, ), тензорный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения. В этом случае фиксирована относительно тела или среды только одна главная ось тензора — ось симметрии эллипсоида (в иашем примере ось ). В качестве двух других главных осей можно взять две любые взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр эллипсоида и перпендикулярные к его оси симметрии.

В случае, когда все три главные значения тензора совпадают тензорный эллипсоид вырождается в сферу радиуса (см. (III.12)). В этом случае три любые взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр сферы, можно взять в качестве главных осей тензора.

Симметричный тензор с компонентами т. е. тензор

(III.15)

называется единичным. Произведя вычисления по формулам (II1.6), легко убедиться в том, что умножение вектора а на единичный тензор (III.15) оставляет вектор а без изменений. Тензорный эллипсоид для единичного тензора вырождается в сферу единичного радиуса. Можно доказать, что тензор (111.15) является инвариантным. Это означает, что его компоненты не изменяются при переходе от одной системы координат к другой.

Тензор с одинаковыми главными аначениями можно представить в виде произведения скаляра S на единичный тензор:

(III.16)

Оба множителя — скаляр и единичный тензор — являются инвариантными. Следовательно, и тензор, стоящий слева в равенстве (111.16), также является инвариантным.

Эллипсоид инерции. Поясним полученные соотношения на примере тензора инерции (см. § 40). Эллипсоид инерции (т. е. эллипсоид тензора инерции) жестко связан с телом, инертные свойства которого он описывает. Главные оси инерции тела совпадают с полуосями эллипсоида, т. е. являются главными осями тензора инерции. Главные моменты инерции тела являются главными значениями тензора инерции. В соответствии с (III.12) полуоси эллипсоида инерции равны

Проведем через центр масс тела произвольную ось образующую с главными осями инерции (т. е. полуосями эллипсоида инерции) углы Согласно формуле (III.14) момент инерции тела относительно этой оси (осевой момент инерции соответствующий в формуле (40.7)) можно вычислить по формуле

(111.17)

где — главные моменты инерции тела.

Шаровой волчок определяется как тело, все три главных момента инерции которого одинаковы: (см. стр. 138). Следовательно, эллипсоид инерции шарового волчка вырождается в сферу радиуса Однородный куб является частным случаем шарового волчка.

Для момента инерции относительно произвольной оси, образующей с ребрами куба углы получается по формуле (111,17) значение

(напомним, что для любого направления в пространстве Таким образом, момент инерции куба относительно любой оси, проходящей через его центр, будет один и тот же (как и у однородного шара). Поэтому поведение куба при вращении вокруг любой оси, проходящей через его центр, не отличается от поведения шара. Точно так же не отличается от поведения шара поведение любого шарового волчка, т. е. тела произвольной формы, но с таким распределением массы, что три главных момента инерции оказываются совпадающими. Аналогично не будет отличаться от поведения при вращении однородного круглого цилиндра поведение однородной прямой призмы с квадратным основанием, равно как и поведение любого симметричного волчка, т. е. тела, производи вой формы, но с таким распределением массы, что два из трех главных моментов инерции оказываются совпадающими.