§ 31. Задача двух тел
Задачей двух тел называется задача о движении двух взаимодействующих частиц. Система, образованная частицами, предполагается замкнутой. В § 27 было выяснено, что центр масс замкнутой системы либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно. Будем решать задачу в системе центра масс (в ц-системе), поместив начало координат в точку С. В этом случае 
, т. е.
(рис. 31.1, а). Введем вектор
определяющий положение второй частицы относительно первой (рис. 31.1, б). Решая совместно (31.1) и (31.2), легко найти, что
Подобно (23.1), можно написать, что 
где 
— функция расстояния между частицами, положительная для сил притяжения (рис. 31.1, в) и отрицательная для сил отталкивания. Напишем уравнения движения частиц:
Разделим первое уравнение на 
а второе на «1 и вычтем затем из второго уравнения первое. В результате получим:
Согласно (31.2) левая часть есть 
, Таким образом,
Уравнение (31.4) можно формально рассматривать как уравнение движения воображаемой частицы в центральном поле сил. Положение частицы относительно центра сил определяется радиусом-вектором 
. Согласно (31.4) воображаемой частице нужно приписать массу 
определяемую условием
Рис. 31.1.
Отсюда
Величина (31.6) называется приведенной массой частиц.
Таким образом, задача двух тел сводится к задаче о движении одной частицы в центральном поле сил. Найдя из (31.4) 
как функцию t, можно определить по формулам (31.3) 
. Векторы 
откладываются из центра масс системы С. Поэтому, чтобы можно было воспользоваться формулами (31.3), радиус-вектор 
воображаемой частицы нужно откладывать также из точки С (для реальных частиц вектор (31.2) проводится от первой частицы ко второй).
Из формул (31.3) и рис. 31.1 видно, Что обе частицы движутся относительно центра, масс по геометрически подобным траекториям, причем прямая, соединяющая частицы, все время проходит через центр масс.
