§ 130. Диффузия в газах

Попытаемся получить уравнение диффузии, исходя из молекулярно-кинетических представлений. Чтобы упростить задачу, будем считать, что молекулы обеих компонент мало отличаются по массе и имеют практически одинаковые эффективные сечения . В этом случае молекулам обеих компонент можно приписывать одинаковую среднюю скорость теплового движения а среднюю длину свободного пробега вычислять по формуле

где

Легко сообразить, что процесс диффузии в газах будет протекать тем интенсивнее, чем быстрее движутся молекулы (чем больше ), а также чем реже сталкиваются они друг с другом (т. е. чем больше длина свободного пробега Следовательно, можно ожидать, что коэффициент диффузии D должен быть пропорциональным произведению Это согласуется с тем, что, как отмечалось в § 128, размерность D равна

Приступим к вычислениям. Допустим, что изменение концентрации первой компоненты вдоль оси описывается функцией Обозначим число молекул первой компоненты, пролетающих за секунду через площадку S в направлении оси , через то же число для направления, противоположного оси , — через (рис. 130.1). Разность этих чисел даст поток молекул первой компоненты через поверхность

(130.1)

Будем исходить из упрощенного представления, согласно которому молекулы движутся вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, совпадающих с осями х, у, z (оси х и у параллельны площадке S). В этом случае согласно (95.7) число молекул, пролетающих за секунду в одном из направлений через единичную площадку, равно

Рис. 130.1.

Следовательно, числа можно представить в виде

(130.2)

где — «эффективная» концентрация молекул первой компоненты слева от «эффективная» концентрация молекул первой компоненты справа от

Через поверхность S будут пролетать молекулй, претерпевшие последнее соударение на различных расстояниях от Однако в среднем последнее соударение происходит на расстоянии от S, равном средней длине свободного пробега X. Поэтому в качестве разумно взять значение а в качестве — значение (см. рис. 130.1). Тогда с учетом (130.1) и (130.2) можно написать, что

(130.3)

Поскольку очень мала, разность значений функции стоящую в квадратных скобках в формуле (130.3), можно представить в виде

(130.4)

Подставив это выражение в (130.3), получим, что

(130.5)

Сравнение выражения (130.5) с формулой (128.1) показывает, что, исходя из молекулярно-кинетических представлений, удается не только прийти к правильной зависимости от но и получить выражение для коэффициента диффузии D. Это выражение имеет вид

(130.6)

Более строгий расчет приводит к такой же формуле, но с несколько отличным числовым коэффициентом.

Отметим, что, как мы и предполагали, коэффициент диффузии оказывается пропорциональным произведению .

Вывод, приведший нас к формуле (130.5), в равной мере применим к обеим компонентам смеси. Следовательно, коэффициент диффузии имеет для обеих компонент одинаковое значение.

Исследуем полученное нами выражение для коэффициента диффузии D. Подставив в (130.6) выражения для в А, получим, что

Из (130.7) вытекает, что коэффициент диффузии обратно пропорционален числу молекул в единице объема, а следовательно, и давлению :

При повышении температуры D растет приблизительно как (напомним, что о слегка зависит от Т).

Мы предполагали, что молекулы обеих компонент одинаковы по массе и эффективному сечению. Поэтому (130.6) представляет собой, по существу, выражение для коэффициента самедиффузии, т. е. диффузии молекул некоторого газа в среде молекул того же газа. Явление самодиффузии можно было бы наблюдать, пометив каким-то способом часть молекул однородного газа. Тогда в случае, если бы концентрация меченых молекул и молекул, не несущих отметки, была непостоянна, в газе возникли бы встречные потоки разного рода молекул, причем величина потоков определялась бы формулой (130.5). Практически самодиффузию можно исследовать, применив метод меченых атомов. Этот метод состоит в использовании смеси изотопов, т. е. разновидностей атомов одного и того же элемента, отличающихся друг от друга, наиример, тем, что одна разновидность атомов радиоактивна, а другая — стабильна.

В случае, когда молекулы обеих компонент смеси «еодинаковы по массе и эффективному сечению, коэффициент диффузии определяется выражением

где

— число молекул в единице объема газовой смеси; ( — масса и эффективный диаметр молекул t-й компоненты).