§ 10. Единицы и размерности физических величин

Законы физики, как уже отмечалось, устанавливают количественные соотношения между физическими величинами. Для установления таких соотношений необходимо иметь возможность измерять различные физические величины.

Измерить какую-либо физическую величину (найример, скорость) означает сравнить ее с величиной того же вида (во взятом примере — со скоростью), принятой за единицу.

Вообще говоря, для каждой физической величины можно было бы установить ее единицу произвольно, независимо от других. Однако оказывается, что можно ограничиться произвольным выбором единиц для нескольких (минимум трех) в принципе любых величин, принятых за основные. Единицы же всех прочих величин можно установить с помощью основных, воспользовавшись для этой цели физическими законами, связывающими соответствующую величину с основными величинами или с величинами, для которых единицы уже установлены подобным образом.

Поясним сказанное следующим примером. Предположим, что мы уже установили единицы для массы и ускорения. Соотношение (9.3) связывает закономерным образом эти величины с третьей физической величиной — силой. Выберем единицу силы так, чтобы коэффициент пропорциональности в этом уравнении был равен единице. Тогда формула (9.3) принимает более простой вид:

Из (10.1) следует, что установленная единица силы представляет собой такую силу, под действием которой тело с массой, равной единице, получает ускорение, равное также единице (подстановка в (10.1) F=1 и дает ).

При указанном способе выбора единиц физические соотношения принимают более простой вид. Сама же совокупность единиц образует определенную систему.

Существует несколько систем, отличающихся выбором основных единиц. Системы, в основу которых положены единицы длины, массы и времени, называются абсолютными.

В СССР введен с 1 января 1963 г. государственный стандарт ГОСТ 9867-61, устанавливающий применение Международной системы единиц, обозначаемой символом СИ. Эта система единиц должна применяться как предпочтительная во всей области науки, техники и народного хозяйства, а также при преподавании. Основными единицами СИ являются: единица длины — метр (сокращенное обозначение — м), единица массы — килограмм (кг) и единица времени — секунда (с). Таким образом, СИ принадлежит к числу абсолютных систем. Кроме указанных трех единиц, СИ принимает в качестве основных единицу силы тока — ампер (А), единицу термодинамической температуры — кельвин (К), единицу силы света — канделу (кд) и единицу количества вещества — моль (моль).

Об этих единицах будет речь в соответствующих разделах курса.

Метр определяется как длина, равная 1650763,73 длин волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями атома криптона-86 (оранжевая линия криптона-86), Метр приближенно равен 1/40 000 000 доле длины земного меридиана. Применяются также кратные и дольные единицы: километр ), сантиметр ), миллиметр (1 мм ), микрометр (1 мкм ) и т. д.

Килограмм представляет собой массу платино-иридиевого тела, хранящегося в Международном бюро мер и весов в Севре (близ Парижа). Это тело называется международным прототипом килограмма. Масса прототипа близка к массе 1000 см3 чистой воды при 4 °С. Грамм равен 1/1000 килограмма.

Секунда определяется как промежуток времени, равный сумме 9 192 631 770 периодов излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133. Секунда приблизительно равна 1/86 400 средних солнечных суток.

В физике применяется также абсолютная система единиц, называемая СГС-системой. Основными единицами в этой системе, являются сантиметр, грамм и секунда.

Единицы введенных нами в кинематике величин (скорости и ускорения) являются производными от основных единиц. Так, за единицу скорости принимается скорость равномерно движущегося тела, проходящего в единицу времени (секунду) путь, равный единице длины (метру или сантиметру). Обозначается эта единица м/с в СИ и см/с в СГС-системе. За единицу ускорения принимается ускорение равномерно-переменного движения, при котором скорость тела за единицу времени (секунду) изменяется на единицу (на м/с или см/с). Обозначается эта единица в СИ и в СГС-системе.

Единица силы в СИ называется ньютоном (Н). Согласно ньютон равен силе, под действием которой тело с массой 1 кг получает ускорение . Единица силы в СГС-системе называется диной (дин). Одна дина равна силе, под действием которой тело с массой 1 г получает ускорение 1 см/с2. Между ньютоном и диной имеется следующее соотношение:

В технике широко применялась система МКГСС (называемая обычно технической системой единиц). Основными единицами этой системы являются метр, единица силы — килограмм - сила (кгс) и секунда. Килограмм - сила определяется как сила, сообщающая массе в 1 кг ускорение, равное 9,80655 м/с2. Из этого определения следует, что 1 кгс=9,80655 Н (приближенно 9,81 Н).

За единицу массы в МКГСС согласно (10.1) должна быть принята масса такого тела, которое под действием силы в 1 кгс получает ускорение 1 м/с2. Эта единица обозначается кгс•с2/м, специального названия она не имеет. Очевидно, что 1 кгс•с2/м=9,80655 кг (приблизительно 9,81 кг).

Из способа построения систем единиц следует, что изменение основных единиц влечет за собой изменение производных единиц. Если, например, за единицу времени принять вместо секунды минуту, т. е. увеличить единицу времени в 60 раз, то единица скорости уменьшится в 60 раз, а единица ускорения уменьшится в 3600 раз.

Соотношение, показывающее, как изменяется единица какой-либо величины при изменении основных единиц, называется размерностью этой величины. Для обозначения размерности произвольной физической величины используется ее буквенное обозначение, взятое в квадратные скобки. Так, например, символ Ы означает размерность скорости. Для размерностей основных величин используются специальные обозначения для длины L, для массы М и для времени Т. Таким образом, обозначив длину буквой I, массу буквой и время буквой t, можно написать:

В указанных обозначениях размерность произвольной физической величины имеет вид и у могут быть как положительными, так и отрицательными, в частности, они могут равняться нулю). Эта запись означает, что при увеличении единицы длины в раз единица данной величины увеличивается в раз (соответственно число, которым выражается значение величины в этих единицах, уменьшается в раз); при увеличении единицы массы в раз единица данной величины увеличивается в раз и, наконец, при увеличении единицы времени в раз единица данной величины увеличивается в раз.

Поскольку физические законы не могут зависеть от выбора единиц фигурирующих в них величин, размерности обеих частей уравнений, выражающих эти законы, должны быть одинаковыми. Это условие может быть использовано, во-первых, для проверки правильности полученных физических соотношений и, во-вторых, для установления размерностей физических Величин. Так, например, скорость определяется как Размерность равна L, размерность равна Т. Размерность правой части написанного соотношения равна

Размерность левой части должна быть такой же. Следовательно,

Написанное соотношение называется формулой размерности, а его правая часть — размерностью соответствующей величины (в данном случае скорости).

На основании соотношения можно установить размерность ускорения:

Размерность силы

Аналогично устанавливаются размерности всех прочих величин.