§ 73. Уравнение Бернулли

Рассматривая движение жидкостей, во многих случаях можно считать, что перемещение одних частей жидкости относительно других не связано с возникновением сил трения. Жидкость, в которой внутреннее трение (вязкость) полностью отсутствует, называется идеальной.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока малого сечения (рис. 73.1). Рассмотрим объем жидкости, ограниченный стенками трубки тока и перпендикулярными к линиям тока сечениями и . За время этот объем переместится вдоль трубки тока, причем сечение переместится в положение , пройдя путь сечение переместится в положение пройдя путь . В силу неразрывности струи заштрихованные объемы будут иметь одинаковую величину: .

Энергия каждой частицы жидкости слагается из ее кинетической энергии и потенциальной энергии в поле сил земного тяготения.

Вследствие стационарности течения частица, находящаяся - спустя время в любой из точек незаштрихованной части рассматриваемого объема (см., например, точку О на рис. 73.1), имеет такую же скорость (а следовательно, и кинетическую энергию), какую имела частица, находившаяся в той же точке в начальный момент времени. Поэтому приращение энергии АЕ всего рассматриваемого объема можно вычислить как разность энергий заштрихованных объемчиков

Возьмем сечение трубки тока и отрезки настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объемчиков можно было приписать одно и то же значение скорости v, давления и высоты А. Тогда приращение энергии запишется следующим образом:

( — плотность жидкости).

В идеальной жидкости силы трения отсутствуют. Поэтому приращение энергии (73.1) должно равняться работе, совершаемой над выделенным объемом силами давления. Силы давления на боковую поверхность перпендикулярны в каждой точке к направлению перемещения частиц, к которым они приложены, вследствие чего работы не совершают. Отлична от нуля лишь работа сил, приложенных к сечениям S, и . Эта работа равна

Приравняв выражения (73.1) и (73.2), сократив на AV и перенеся члены с одинаковыми индексами в одну часть равенства, получим:

Сечения были взяты совершенно произвольно. Поэтому можно утверждать, что в любом сечении трубки тока выражёние имеет одинаковое значение. В соответствии со сделанными нами при его выводе предположениями уравнение (73.3) становится вполне точным лишь при стремлении поперечного сечения S к нулю, т. е. при стягивании трубки тока в линию. Таким образом, величины фигурирующие в левой и правой частях уравнения (73.3), следует рассматривать как относящиеся к двум произвольным точкам одной и той же линии тока.

Рис. 73.1.

Полученный нами результат можно сформулировать следующим образом: в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие

(73.4)

Уравнение (73.4) или равнозначное ему уравнение (73.3) называется уравнением Бернулли. Несмотря на то, что это уравнение было получено нами для идеальной жидкости, оно достаточно хорошо выполняется для реальных жидкостей, внутреннее трение в которых не очень велико.

Для горизонтальной линии тока условие (73.3) принимает вид

т. e. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше (качественно это уже было показано в предыдущем параграфе).

Рис. 73.2.

Уменьшение давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу устройства водоструйного насоса (рис. 73.2). Струя воды подается в трубку, открывающуюся в атмосферу, так что на выходе из трубки давление равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода идет с большей скоростью, вследствие чего давление в этом месте оказывается меньше атмосферного. Такое же давление устанавливается и в охватывающей трубку камере насоса, которая сообщается с трубкой через разрыв, имеющийся в узкой части трубки. Подсоединив к камере-насоса откачиваемый объем, из него можно откачать воздух (или какой-либо другой газ) до давления порядка 100 мм рт. ст. Откачиваемый воздух захватывается струей воды и уносится в атмосферу.