ГЛАВА XVI. ФИЗИЧЕСКАЯ КИНЕТИКА

§ 128. Явления переноса

Статистическая физика имеет дело с равновесными состояниями и с обратимыми процессами (т. е. процессами, при которых система проходит через последовательность равновесных состояний). Наука, изучающая процессы, возникающие при нарушениях равновесия, иосит название физической кинетики.

При нарушении равновесия система стремится вернуться в равновесное состояние. Этот процесс сопровождается возрастанием энтропии и, следовательно, необратим. Таким образом, процессы, изучаемые физической кинетикой, являются необратимыми.

Нарушение равновесия сопровождается возникновением потоков либо молекул, либо тепла, либо электрического заряда и т. п. В связи с этим соответствующие процессы иосят название явлений переноса. Из сказанного выше вытекает, что явления переноса представляют собой необратимые процессы.

Мы рассмотрим три явления переноса: диффузию, теплопроводность и внутреннее трение, или вязкость, причем ограничимся случаем, когда отклонения от равновесия невелики. Вначале мы напишем эмпирические уравнения этих процессов, применимые к любым средам (твердым, жидким и газообразным). В последующих параграфах будет дан молекулярно-кинетический вывод указанных уравнений для газов.

При рассмотрении явлений переноса нам придется вычислять количества различных величин (числа частиц, массы, энергии, импульса), переносимых через некоторую воображаемую поверхность. Количество какой-либо величины, проходящее в единицу времени через некоторую поверхность, называется потоком этой величины. Примерами могут служить: поток жидкости через поперечное сечение трубы, поток света через оконное стекло или через стеклянный баллон электрической лампочки и т. п. Можно рассматривать поток через поверхность любой формы; в частности, поверхность может быть замкнутой.

Поток является скалярной алгебраической величиной. Знак потока определяется выбором положительного направления, например направлением оси, вдоль которой распространяется поток. Положительное направление обычно выбирается произвольно. В случае замкнутых поверхностей принято положительным считать поток, вытекающий через поверхность наружу, а отрицательным — поток, втекающий внутрь.

В этой главе мы будем рассматривать потоки через плоские поверхности, перпендикулярные к оси . Если частицы, энергия или импульс будут переноситься через поверхность в направлении оси , мы будем считать соответствующий поток положительным, в противном случае — отрицательным.

Каждое явление переноса бывает обусловлено неодинаковостью в пространстве значений некоторой величины . В случае переноса частиц (диффузии) такой величиной является концентрация частиц — перенос частиц осуществляется в направлении убывания их концентрации. Поток тепла возникает в случае неодинаковости температуры в разных точках среды, причем тепло течет в направлении убывания температуры, и т. д.

Для простоты будем считать, что величина неоднородность которой обусловливает данный процесс переноса (концентрация, температура и т. п.), является функцией лишь одной координаты . Тогда изменение этой величины в пространстве будет характеризоваться производной которую обычно называют градиентом величины Это название не вполне правильно: строго говоря, производная скалярной функции по дает проекцию Градиента функции на ось (см. (21.2)). Однако, следуя традиции, мы будем называть входящие в уравнения переноса величины вида градиентом.

Диффузия. Диффузией называется обусловленное тепловым движением молекул самопроизвольное выравнивание концентраций в смеси нескольких (в простейшем случае двух) различных веществ. Этот процесс наблюдается в твердых, жидких и газообразных средах. Мы ограничимся рассмотрением только газообразных сред.

Пусть в единице объема двухкомпонентной газовой смеси содержится молекул одного вида и молекул другого вида. Полное число молекул в единице объема равно Отношение

называется относительной концентрацией молекул t-гo вида.

Предположим, что в направлении оси создаются градиенты концентраций и причем (рис. 128.1). Тогда так что , а следовательно, и постоянны

Поэтому газодинамические потоки не возникают. Однако вследствие Теплового движения молекул будет происходить процесс выравнивания концентраций, сопровождающийся переносом массы каждой из компонент в направлении убывания ее концентрации. Как указано выше, этот процесс носит название диффузии.

Опытным путем установлено, что поток молекул вида через перпендикулярную к оси поверхность S определяется выражением

(128.1)

где D — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом диффузии.

Согласно (128.1) в случае, когда поток оказывается отрицательным; это означает, что молекулы переносятся в направлении, противоположном направлению оси z (рис. 128.2, а). В случае, если поток оказывается положительным, т. е. молекулы переносятся в направлении (рис. 128.2, б). Таким образом, знак минус в формуле (128.1) обусловлен тем, что поток молекул направлен в сторону убывания концентрации.

Рис. 128.1.

Рис. 128.2.

Размерность потока молекул N равна размерность , равна площади имеет размерность L. Следовательно, коэффициент диффузии D имеет размерность

Умножив обе части равенства (128.1) на массу молекулы t-го вида получим выражение для потока массы i-й компоненты:

(128.2)

Здесь — парциальная плотность i-й компоненты; ее называют также абсолютной концентрацией.

Формулы (128.1) и (128.2) представляют собой эмпирические уравнения диффузии. Их называют также законом Фике.

Теплопроводность. Опыт дает, что если в некоторой среде (твердой, жидкой или газообразной) создать вдоль оси градиент температуры, то возникает ноток тепла, величина которого определяется формулой

(128.3)

Здесь q — поток тепла через поверхность S, расположенную перпендикулярно к оси , — градиент температуры (точнее — проекция градиента температуры на ось ), к — коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств среды и называемый коэффициентом теплопроводности. Единицей q служит (ватт). Следовательно, к. измеряется в ваттах на метр-кельвин . Знак минус в формуле (128.3) отражает то обстоятельство, что тепло течет в направлении убывания температуры. Поэтому знаки q в противоположны.

Уравнение (128.3) есть эмпирическое уравнение теплопроводности. Его называют также законом Фурье.

Внутреннее трение. Согласно формуле (75.4) сила трения между двумя слоями жидкости или газа равна

где — коэффициент вязкости, — величина, показывающая, как быстро изменяется скорость жидкости или газа в направлении , перпендикулярном к направлению движения слоев (градиент ), S — величина поверхности, по которой действует сила F. Уравнение (128.4) и есть эмпирическое уравнение вязкости.

Согласно второму закону Ньютона взаимодействие двух слоев с силой F можно рассматривать как процесс, в ходе которого от одного слоя к другому передается в единицу времени импульс, по величине равный F. Поэтому уравнение (128.4) можво представить в виде

(128.5)

где К — импульс, передаваемый за секунду от слоя слою через поверхность S, т. е. поток импульса через

Поток импульса К измеряется в Следовательно, единицей коэффициента вязкости ) является кг/(мс) {килограмм на метр-секунду).

Знак минус в формуле (128.5) обусловлен тем обстоятельством, что имнульс «течет» в направлении убывания скорости . Поэтому знаки потока импульса К и производной противоположны.

Напомним, что формула (128.4) определяет одинаковый модуль двух противоположно направленных сил, с которыми слои действуют друг на друга. Поэтому в (128.4) нельзя писать перед правой частью знак минус. Кроме того, нужно брать модуль выражения (модуль силы при любом знаке производной должен быть положительным).