§ 29. Закон сохранения момента импульса

Мы знаем уже две аддитивные сохраняющиеся величины: энергию и импульс. Теперь найдем третью такую величину. Для этого рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц, на которые действуют также внешние силы (рис. 29.1). Уравнения движения частиц имеют вид

Умножим первое уравнение векторно слева на радиус-вектор первой частицы а второе — на радиус-вектор второй частицы :

Векторное произведение вида эквивалентно выражению Действительно, согласно формуле (2.55)

так как Произведя такую замену в формулах (29.1) и учтя, что прядем к уравнениям;

Масса есть постоянная скалярная величина. Поэтому ее можно внести под знак производной по времени и в векторное произведение:

Приняв это во внимание, сложна вместе уравнения В результате получим:

Векторы коллннеарны; поэтому их векторное произведение равно нулю. Таким образом, мы приходим к соотношению

Если система замкнута, правая часть этого соотношения равна нулю и, следовательно,

Мы пришли к аддитивной сохраняющейся величине, которую называют моментом импульса относительно точки О (см. рис. 29.1).

Для отдельно взятой частицы ментом импульса относительно точки О называется псевдовектор

Моментом импульса системы относительно точки О называется векторная сумма моментов импульсов частиц, входящих в систему:

Рис. 29.1.

Проекция вектора (29.5) на некоторую ось называется моментом импульса частицы относительно этой оси.

Аналогично моментом импульса системы относительно оси называется скалярная величина

Из рис. 29.2 видно, что модуль вектора момента импульса частицы равен

где — длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую вдоль которой направлен импульс частицы.

Рис. 29.2.

Рис. 29.3.

Эта длина называется плечом импульса относительно точки О. Рис. 29.2 выполнен в предположении, что точка О, относительно которой берется момент, и вектор лежат в плоскости рисунка. вектор М верлеидикулярен к плоскости рисунка, и направлен от нас.

Рассмотрим два характерных примера.

1. Пусть частица движется вдоль прямой, изображенной на рис. 29.2 пунктиром. В этом случае момент импульса частицы может изменяться тольщмзо величине. Модуль момента равен.

(29.10)

причем плечо l остается неизменным.

2. Частица массы движется по окружности радиуса (рис. 29.3). Момент импульса частицы относительно центра окружности О равен по модулю

Вектор М перпендикулярен к плоскости окружности, лричем на правление движения частицы и вектор М образуют правовинтовую систему.

Поскольку плево, равное R, остается постоянным, момент импульса может изменяться только за счет изменения модуля, скорости. При равномерном движении частицы по окружности момент импульса остается постоянным b по величине, и по направлению. Псевдовектор

(29.12)

называется моментом силы F относительно точки О, из которой проводится радиус-вектор точки приложения силы (рис. 29.4). Из рисунка видно, - что модуль момента силы можно представить в виде

(29.13)

где — плечо сила относительно точки О (т. е. длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила).

Проекция вектора N на некоторую ось , проходящую через точку О, относительно которой определен N, называется моментом силы относительно этой оси:

(29.14)

Разложим вектор силы F (рис. 29.5) на три взаимно перпендикулярные составляющие: — параллельную оси , — перпендикулярную к оси и действующую вдоль прямой, проходящей через ось, и, наконец, — перпендикулярную к плоскости, проходящей через ось и точку приложения силы (эта составляющая обозначена на рисунке кружком с крестиком). Если представить себе окружность радиуса R с центром на оси , то составляющая F, будет направлена по касательной к этой окружности. Момент силы F относительно точки О равен сумме моментов составляющих:

Рис. 29.4.

Рис. 29.5.

Векторы и перпендикулярны к оси , поэтому их проекции на ось равны нулю. Момент имеет модуль, равный и образует с осью угол а, косинус которого равен Следовательно, момент составляющей F, относительно оси имеет величину . Таким образом, момент силы F относительно оси равен

(29.15)

До сих пор под мы понимали модуль составляющей . Однако можно рассматривать как проекцию вектора F на орт , касательный к окружности радиуса R и направленный так, что движение по окружности в направлении образует с направлением оси правовинтовую систему.

При таком истолковании формула (29.15) будет определять и знак

Момент силы. N характеризует способность силы вращать тело вокруг точки, относительно которой он берется. Заметим, что в том случае, когда тело может вращаться относительно точки О произвольным образом, под действием силы тело повернется вокруг оси, перпендикулярной к плоскости, в которой лежат сила и точка О, т. е. вокруг оси, совпадающей с направлением момента силы относительно данной точки.

Момент силы относительно оси характеризует способность силы вращать тело вокруг этой оси. Составляющие и не могут вызвать вращения вокруг оси . Такой поворот может быть вызван только составляющей причем эта составляющая тем успешнее осуществит поворот, чем больше ее плечо

Две равные по величине противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной прямой, называются парой сил (рис. 29.6). Расстояние l между прямыми, вдоль которых действуют силы, называется, плечом пары. Суммарный момент образующих пару сил равен

Учтя, что можно написать:

(29.16)

где — вектор, проведенный из точки приложения силы в точку приложения силы F. Выражение (29.16) не зависит от выбора точки О. Следовательно, момент пары сил относительно любой точки будет один и тот же.

Рис. 29.6.

Вектор момента пары сил перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы (см. рис. 29.6), и численно равен произведению модуля любой из сил на плечо.

Силы взаимодействия между частицами действуют в противоположные стороны вдоль одной, и той же прямой (рис. 29.7). Их момент относительно произвольной точки О равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы частиц, в частности для твердого тела, всегда равна нулю:

(29.17)

В соответствии с определениями (29.6) и (29.112) уравнение (29.4) можно записать следующим образом:

Эта формула сходна с формулой (27.3). Из сравнения этих формул вытекает, что подобно тому, как производная по времени от импульса систем равна сумме внешних сил, производная по времени от момента импульса равна сумме моментов внешних сил.

Из (29.18) вытекает, что при отсутствии внешних сил . Следоватезншо, для замкнутой системы М постоянен. Это утверждение составляет содержание закона; сохранения момента импульса, который формулируется следующим образом: момент импульса звмкщтой сиспшшл материальных точек остветея постоянным.

Мы доказали соотношение (29.18) для системы из двух частиц. Однако его легко обобщить на случай любого числам частиц. Напишем уравнения движения частиц:

Рис. 29.7.

Умножив каждое из уравнений на соответствующий радиус-вектора получим (см. (29.2):

Сложим вместе все N уравнении:

Первая сумма в правой части представляет собой сумму моментов всех внутренних сил, которая, как мы показали, равна нулю (см. (29.17)). Вторая сумма справа есть сумма моментов внешних сил. Следовательно, мы пришли к формуле (29.18).

Отметим, что момент импульса остается постоянным и для незамкнутой системы при условии, что суммарный момент внешних сил равен нулю (см. (29.18).

Спроектировав все величины, входящие в уравнение (29.18), на некоторое направление , получим соотношение:

(29.19)

согласно которому производная по времени от момента импульса системы относительно оси равна сумме моментов вмешних сил относительно этой оси.

Из (29.19) следует, что в том случае, когда сумма моментов внешних она относительно некоторой оси равна нулю, момент импульса. системы относительно этой оси остается постоянным.