§ 47. Принцип эквивалентности

Масса фигурирует в двух различных законах: во втором законе Ньютона и в законе всемирного тяготения. В первом случае она характеризует инертные свойства тела, во втором — гравитационные свойства, т. е. способность тел притягивать друг друга. В связи с этим возникает вопрос, не следует ли различать инертную массу и массу гравитационную

Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Рассмотрим в гелиоцентрической системе отсчета свободное падение тел. Всякое тело вблизи поверхности Земли испытывает силу притяжения к Земле, которая согласно (46.13) равна

( гравитационная масса данного тела, — гравитационная масса Земли, — радиус земного шара). Под действием этой силы тело приобретает ускорение w (но не g; см. § 33), которое должно быть равно силе F, деленной на инертную массу тела

Опыт показывает, что ускорение w для всех тел одинаково (в § 33 показано, что из одинаковости g вытекает одинаковость до). Множитель также одинаков для всех тел.

Следовательно, и отношение оказывается для всех тел одним и тем же.

К такому же результату приводят и все другие опыты, в которых могло бы проявиться различие между инертной и гравитационной массами.

Из числа упомянутых опытов расскажем об опыте Этвеша, начатом в 1887 г. и продолжавшемся более 25 лет. В его основе лежит то обстоятельство, что на тело, покоящееся вблизи поверхности Земли, действуют, кроме реакции опоры, гравитационная сила F, направленная к центру Земли, а также центробежная сила инерции направленная перпендикулярно к оси вращения Земли (рис. 47.1; на этом рисунке не соблюден масштаб — модуль центробежной силы на два порядка меньше модуля гравитационной силы, см. § 33). Гравитационная сила пропорциональна гравитационной массе тела

(G — напряженность гравитационного поля). Центробежная сила инерции пропорциональна инертной массе . Согласно формуле (33.4) ее модуль определяется выражением

( — широта местности).

Рис. 47.1.

Из рис. 47.1 следует, что модуль вертикальной составляющей центробежной силы инерции равен

Мы ввели обозначение . Опыт Этвеша производился на широте . В этом случае коэффициент А примерно в 100 раз меньше G.

Модуль горизонтальной составляющей силы равен

(для значения коэффициентов А и В совпадают).

Этвеш подвесил на упругой нити стержень с укрепленными на его концах телами по возможности равной массы (рис. 47.2). Тела брались из разных материалов. К нижней части нити прикреплялось зеркальце. Луч, вышедший из осветителя и отраженный от зеркальца, попадал на перекрестье зрительной трубы. Плечи V и подбирались так, чтобы стержень находился в равновесии в вертикальной плоскости. Условие равновесия выглядит следующим образом:

Прибор располагался так, чтобы стержень был перпендикулярен к плоскости меридиана (см. рис. 47.2). В этом случае горизонтальные составляющие центробежной силы инерции создают закручивающий момент, равный

Исключив из уравнений (47.2) и (47.3) плечо Г, можно после несложных преобразований прийти к формуле

Из этой формулы видно, что в том случае, когда отношение гравитационной и инертной масс для обоих тел одинаково, момент, закручивающий нить, должен быть равен нулю. Если же отношение для первого и второго тела неодинаково, закручивающий момент отличен от нуля. В этом случае при повороте всего прибора на 180° закручивающий момент изменил бы знак на обратный и световой зайчик сместился бы из перекрестья зрительной трубы (рис. 47.3). При сравнении восьми различных тел (в том числе и деревянного) с платиновым телом, принятым за эталон, Этвеш не обнаружил закручивания нити. Это дало ему основание утверждать, что отношение для этих тел одинаково с точностью в .

Рис. 47.2.

В 1961—64 гг. Дикке усовершенствовал метод Этвеша, использовав для создания закручивающего момента гравитационное поле Солнца и центробежную силу инерции, обусловленную орбитальным движением Земли.

Рис. 47.3.

В результате своих измерений Дикке пришел к выводу, что отношение одинаково для исследованных тел с точностью 10-11. Наконец, в 1971 г. В. Б. Брагинский и В. И. Панов получили постоянство указанного отношения с точностью до

Итак, вся совокупность опытных фактов указывает на то, что инертная и гравитационная массы всех тел строго пропорциональны друг другу. Это означает, что при надлежащем выборе единиц гравитационная и инертная массы становятся тождественными, поэтому в физике говорят просто о массе. Тождественность гравитационной и инертной масс положена Эйнштейном в основу общей теории относительности.

В § 32 мы уже отмечали, что силы инерции аналогичны силам тяготения — и те, и другие пропорциональны массе тела, на которое они действуют. Там же было указано, что, находясь внутри закрытой кабины, никакими опытами нельзя установить, чем вызвано действие на тело силы тем ли, что кабина движется с ускорением —g, либо тем, что неподвижная кабина находится вблизи поверхности Земли. Это утверждение составляет содержание так называемого принципа эквивалентности.

Тождественность инертной и гравитационной масс является следствием эквивалентности сил инерцин и сил тяготения.

Отметим, что с самого начала массу в (45.1) мы полагали совпадающей с инертной массой тел, вследствие чего численное значение у нами было определено в предположении, что Поэтому (47.1) можно записать в виде

Последнее соотношение позволяет определить массу Земли

Подстановка в него измеренных значений дает для массы Земли значение .

Далее, зная радиус земной орбиты и время полного обращения Земли вокруг Солнца Т, можно найти массу Солнца . Ускорение Земли, равное обусловливается силой притяжения Земли к Солнцу. Следовательно,

откуда может быть вычислена масса Солнца.

Подобным же образом были определены массы других небесных тел.