§ 40. Понятие о тензоре инерции

В § 38 мы установили, что для однородного тела, вращающегося относительно оси симметрии, связь между векторами М и имеет очень простой вид;

(см. (38.10)) или

Это объясняется тем, что для такого тела векторы М и коллинеарны. Однако в общем случае векторы М и образуют угол, отличный от нуля (см. рис. 38.2), так что связь между ними не может быть выражена формулой (40.1)

Попытаемся выяснить, как можно связать аналитически векторы в самом общем случае. Будем исходить из того, что модули пропорциональны друг другу. Действительно, согласно (38.3) модули элементарных векторов пропорциональны модулю следовательно и модуль суммы этих векторов также пропорционален Легко сообразить, что такая пропорциональность получится в том случае; если каждая компонента вектора будет зависеть линейно от компонент вектора

Здесь величины и т. д. суть коэффициенты пропорциональности, имеющие размерность момента инерции (ср. с (40.2)). При увеличении «о в некоторое число раз в такое же количество раз увеличится и соответственно каждая из компонент значит и сам вектор .

Взаимная ориентация векторов определяется значениями коэффициентов пропорциональности. Пусть, например, а остальные коэффициенты равны нулю. Тогда формулы (40.3) переходят в соотношения (40.2), т. е. векторы оказываются коллинеарнымн. Теперь допустим, что вектор направлен вдоль оси и коэффициенты отличны от нуля. В этом случае Подстановка этих значений в (40.3) дает, что

Все три компоненты вектора М оказались отличными от нуля, значит, вектор М образует с направленным по оси вектором , некоторый угол. Из сказанного вытекает, что в самом общем случае связь между моментом импульса и угловой скоростью тела может быть выражена с помощью формул (40.3). Аналогичные формулы могут быть написаны для любых векторов модули которых пропорциональны друг другу:

Эти три формулы можно записать компактно в виде одного выражения:

Положив и осуществив суммирование, при которой индекс k пробегает значения х, у, z, получум первую из формул (40.4), положив — вторую из формул и т. д.

Совокупность девяти величин именуют тензором второго ранга, а операцию, выражаемую формулами (40.4), называют умножением вектора а на тензор Т. В результате такого уммножения получается новый вектор

Тензор принято записывать ввиде квадратной таблицы:

(вместо индексов х, у, z можно писать индексы 1, 2, 3). Величины называютя компонентами тензора. Расположенные по диагонали таблицы (40.6) компоненты: называются диаганальными. Значения компонент зависят от выбора координатных осей, на которые проектируются векторы а и b (от выбора осей зависят и компоненты этих векторов

Из сопоставления формул (40.3) и (40.4) вытекает, что коэффициенты в формулах (40.3) суть компоненты тензора второго ранга:

Его называют тензором инерции тела. Этот тензор характеризует некоторые свойства тела при вращении.

Чтобы найти значения компонент тензора инерции будем исходить из определенных момента импульса тела:

(см. (38.9)). Векторы будем откладывать от центра масс тела (рис. 40.1). Заменим в выражении (40.8) скорость v векторным произведением (см. формулу(5.8)). В результате получим:

Теперь воспользуемся формулой «бац минус цаб» (формулой (2.35)):

Рис. (40.1.

Напомним, что суммирование осуществияется по всем эяементарным массам, на каторые мысленно разбито тело.

Свяжем с телом декартову систему координат (см. рис. 40.1) и распишем скалярные произведения, фигурирующие в выражении (40.9), через компоненты векторов по осям этой системы (см. (2.23)). Начало координат поместим в центр масс тела С (напомним, что из этой точки мы откладывали векторы . Учтя, что получим

Найдем проекцию этого ввектора на ось

(40.11)

Аналогично находятся проекции вектора М на осси у и

(40.13)

Сравнение полученных нами выражений с формулами (40.3) позволяет найти значения компонент тензора инерции. Выпишем эти значения сразу в виде таблицы:

Диагональные компоненты тензора представляют собой рассмотренные в предыдущем параграфе мошенты инерции относительно соответствующих координатных осей. Эти компоненты называются осевым и моментами инерции. Заметим, что недиагональные компоненты тензора (40.14) удовлетворяют условию: Тензор, удовлетворяющий такому условию, называется симметричным.

Практически копаненты тензора инерции вычисляются с помощью интегрирования, Например, компонента опредйется по формуле

где р(х, у, z) — плотность, — элементарный объем. Интегрирование производится по всему объему тела.

Найдем компоненты тензора инерции для однородного прямоугольного параллелепипеда, выбрав оси координат так, как показано на рис. 40.2. Начало координат совпадает с центром масс тела С.

Чтобы вычислить осевой момент инерции разобьем тело на столбики с площадью основания, равной . Все элементы такого столбика имеют одинаковые значения Координат х и у. Объем столбика равен а его масса Поэтому вклад столбика в определяется выражением

Проинтегрировав это выражение по х, найдем вклад в который дает показанный на рис. 40.2 слой длины 2а, ширины и толщины

(40.15)

(так как тело однородно, не зависит от координат х, у, z).

Наконец, проинтегрировав выражение (40.16) по у, получим всего тела:

(т — масса тела). Аналогичные вычисления дают, что

Теперь вычислим один из центробежных моментов, например Вклад в этот момент столбика с основанием равен

а вклад слоя —

Соответственно и момент всего тела равен нулю.

Рис. 40.2.

Аналогичный ре зультат получается и для остальных центробежных моментов. Таким образом, при указанном на рис. 40.2 выбора координатных осей тензор момента инерции однородного прямоугольного параллелепипеда имеет вид

(40.16)

(мы сохранили при диагональных компонентах по одному индексу).

Такой результат получился благодаря тому, что в качестве координатных осей были выбраны главные оси инерции тела(см. § 38).

Рис. 40.3.

При ином выборе координатных осей центробежные моменты инерции оказываютя отличными от нуля. В этом можно убедиться с помощью следующего рассуждения. При выборе осей, показанном на рис. 40.3, а, площади прямоугольников 1, 2, 3 и 4 одинаковы. На двух из них произведение ху положительно, на двух — отрицательно. Это приводит к тому, что интеграл от ху, взятый по всей площади, оказывается равным нулю. При выборе осей, показанном на рис. 40,3, б, площади заштрихованных фигур 1 и 3 меньше площадей незаштрихованных фигур 2 и 4 . Поэтому интеграл от ху, взятый по суммарной площади, будет отличен от нуля. Соответственно отличен от нуля и центробежный момент

Полученный результат является общим для всех тел, независимо от их формы и распределения массы. Если в качетсве координатнных осей взять главные оси инерции тела, тензор инерции имеет вид (40.16). Величины (но не в (40.7); при повороте координатных осей изменяются все компоненты тензора, в том числе и диагональные) называются главными моментами инерции тела. Подчеркнем, что главными моментами инерции называются осевые моменты, вычисленные не в произвольных, а в главных осях.

Главные оси инерции взаимно перпендикулярны и пересекается в центре масс тела. В общем случае (когда ) эта оси можно выбрать единственным способом. Для шарового волчка (т. е. тела, у которого см. § 38) положение главных всей оказывается совершенно неопределенным.

У симметричного волчка фиксирована лишь ось z, остальные две оси оказываются неопределенными.

Пусть тело вращается, вокруг одной из своих главных осей инерции, скажем вокруг оси z. Выбран главные оси в качестве координатных осей, получим, что . Поскольку при таком выборе координатных осей тензор инерции имеет вид (40.16), формулы (40.3) приводят к следующим значениям компонент момента импульса тела:

Следовательно, вектор М имеет такое же направление как и Такой же результат получается при вращения тела вокруг главных осей. Во всех этих случаях

где t — соответствующий главный момент инерции тела. В § 38 мы получили такую формулу для однородного тела вращающегося вокруг своей оси симметрии (см. (38.10)). Теперь мы установили, что формула (40.17) справедлива в тех случаях, когда произвольное тело вращается вокруг одной из своих главных осей инерции.

8 заключение выясним в каких случаях всегда справедливую формулу (см. (38.1)) можно писать в виде

Прежде всего это, очевидно, можно делать, когда тело вращается вокруг главной оси и момент сил направлен вдоль этой оси. Действительно, в этом случае момент сил N приращение коллинеарное с Поэтому вращение все время происходит вокруг главной оси, так что соотношение не нарушается. Однако в этом случае векторная формула (40.18) не дает ничего нового по сравнению с формулой

(z — ось вращения).

При , неколлниеарном с М (например, при перпендикуларном к ), ось вращения со временем перемещается относительно тела; поэтому даже при условии, что соотношение выполняется в начальный момент, со временем это соотношение перестанет выполняться и уравнение (40.18) утрачивает смысл. Только в том случае, когда тело является, шаровым волчком, перемещение оси вращений относительно тела не имеет значения. Для шарового волчка любая ось является главной и обладает одинаковым значением момента инерции поэтову уравнение (40.180 оказвается справедливым при любом взаимном направлении векторов .