§ 64. Следствия из преобразований Лоренца

Из преобразований Лоренца вытекает ряд необычных с точки зрения ньютоновской механийи следствий.

Одновременность событий в разных системах отсчета. Пусть в системе К в точках с координатами происходят одновременно два события в момент времени Согласно последней из формул (63.16) в системе К этим событиям будут соответствовать моменты времени

Из этих формул видно, что в случае, если события в системе К пространственноразобщены (), то в системе они не будут одновременными Знак разности определяется знаком выражения ); следовательно, в разных системах К -(при разных Р) разность будет различна по величине и может отличаться по знаку. Это означает, что в одних системах событие будет предшествовать событию 2, в других системах, наоборот, событие 2 будет предшествовать событию 1. Заметим, что сказанное относится лишь к событиям, между которыми отсутствует причинная связь. Причинно связанные события (например, бросание камня и падение его на Землю) ни в одной из систем отсчета не будут одновременными, и во всех системах событие, являющееся причиной, будёт предшествовать следствию. Подробнее об этом будет речь в следующем параграфе.

Рис. 64.1.

Длина тел в разных системах. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х и покоящийся относительно системы отсчета К (рис. 64.1). Длина его в этой системе равна где — не изменяющиеся со временем V координаты концов стержня. Относительно системы К стержень движется со скоростью Для определения его длины в этой системе нужно отметить координаты концов стержня и в один и тот же момент времени Их разность даст длину стержня, измеренную в системе К. Чтобы найти соотношение между и , следует взять ту из форкул преобразований Лоренца, которая содержит и t, т. е. первую из формул (63.16). Заменив в этой формуле Р через получим

откуда

Воспользовавшись обозначениями и а также заменив относительную скорость систем отсчета равной ей скоростью v стержня относительно системы К, придем к соотношению

Таким образом, длина стержня l, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины измеренной в системе, относительно которой стержень покоится.

Если стержень длины покоится относительно системы К, то для определения его длины в системе К. нужно отметить координаты концов в один и тот же момент времени Разность даст длину стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью и. Использовав первое из уравнений (63.15), снова придем к соотношению 64.1).

Заметим, что в направлении осей у и z размеры стержня одинаковы во всех системах отсчета.

Итак, у движущихся тел размеры их в направлении движения сокращаются тем больше, чем больше скорость движения. Это явление называется лоренцев (или фитцджеральдовым) сокращением. Любопытно, что визуально (илина фотографии) изменение формы тел, даже при сравнимых с с скоростях, не может быть обнаружено. Причина этого весьма проста. Наблюдая визуально или фотографируя какое-либо тело, мы регистрируем импульсы света от разных участков тела, достигшие одновременно сетчатки глаза или фотопластинки.

Испускаются же эти импульсы неодновременно. Импульсы от более удаленных участков были испущены раньше, чем от более близких участков. Таким образом, если тело движется, на сетчатке глаза или на фотоснимке получается искаженное изображение тела. Соответствующий расчет показывает, что следствием указанного искажения будет компенсация лоренцева сокращения так что тела кажутся не искаженными, а лишь повернутыми. Следовательно, тело сферической формы даже при больших скоростях движения будет восприниматься визуально как тело сферического очертания.

Промежуток времени между событиями. Пусть в одной и той же точке системы К происходят два события. Первому событию соответствует в этой системе координата и момент времени второму событию — координата и момент времени Согласно последней из формул (63.15) этим событиям соответствуют в системе К моменты времени

(мы заменили через ). Отсюда

Введя обозначения получим формулу

которая связывает промежутки времени между двумя событиями, измеренные в системах К и К. Напомним, что в системе К оба события происходят в одной и той же точке:

Допустим, что оба события происходят с одной и той же частицей, которая нокоится в системе К и движется относительно системы К со скоростью . Тогда можно трактовать как промежуток времени, измеренный по часам, неподвижным относительно частицы, или, иными словами, измеренный по часам, движущимся вместе с частицей (имеется в виду движение по отношению к системе К). Время, отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом, называется собственным временем этого тела и обозначается обычно буквой . Таким образом, . С учетом этого формуле (64.2) можно придать вид

(мы заменили относительную скорость систем отсчета равной ей скоростью v частицы).

Формула (64.3) связывает собственное время тела с временем t, отсчитанным по часам системы отсчета, относительно которой тело движется со скоростью v (сами эти часы движутся относительно тела со скоростью —v). Из (64.3) видно, что собственное время всегда меньше, чем время, отсчитанное по часам, движущимся относительно тела. В следующем параграфе мы покажем, что собственное время есть инвариант (т. е. одинаково во всех системах отсчета).

Рассматривая происходящие с частицей события в системе К, можно определить как промежуток времени, измеренный по неподвижным часам, а — как промежуток времени, измеренный по часам, движущимся со скоростью v. Согласно (64.3) поэтому можно сказать, что движущиеся часы идут медленнее, чем покоящиеся часы (имеется в виду, что во всем, кроме скорости движения, часы совершенно идентичны).

Соотношение (64.3) получило непосредственное экспериментальное подтверждение. В составе космических лучей имеются частицы, именуемые -мезонами или мюонами. Эти частицы нестабильны — они распадаются самопроизвольно на электрон (или позитрон) и два нейтрино. Среднее время жизни, измеренное в условиях, когда они неподвижны (или движутся с малой скоростью), составляет около с. Казалось бы, что, даже двигаясь со скоростью света, мюоны могут пройти лишь путь порядка Однако, как показывают наблюдения, мюоны образуются в космических лучах на высоте 20—30 км и успевают в значительном количестве достигнуть земной поверхности. Это объясняется тем, что с — собственное время жизни мюонал т. е. время, измеренное по часам, движущимся вместе с ним. Время, отсчитанное по часам экспериментатора, связанного с Землей, оказывается гораздо большим (см. формулу (64.3); v мюона близка к с). Поэтому нет ничего удивительного в том, что этот экспериментатор наблюдает пробег мюона, значительно больший Отметим, что с позиции наблюдателя, движущегося вместе с мюоном, расстояние, пролетаемое им до поверхности Земли, сокращается до (см. формулу (64.1)), так что мюон успевает пролететь это расстояние за .