§ 51. Комплексные числа

Комплексным числом z называется число вида

где х и у — вещественные числа, i — мнимая единица Число называется вещественной частью комплексного числа z? Символически это записывается в виде Число у называется мнимой частью (записывается: ). Число

(51.2)

называется комплексно сопряженным числу

Вещественному числу можно сопоставить точку на оси Комплексному числу можно сопоставить точку на плоскости, имеющую координаты х, у (рис. 51.1). Каждая точка плоскости определяет некоторое комплексное число z. Следовательно, комплексное число можно задать в виде (51.1) с помощью декартовых координат и у соответствующей точки. Однако то же самое число можно задать с помощью полярных координат . Между обеими парами координат имеются соотношения

(51.3)

Расстояние от начала координат до точки, изображающей число z, называется модулем комплексного числа (обозначается |z|). Очевидно, что

Число называют аргументом комплексного числа .

Приняв во внимание соотношения (51.3), можно представить комплексное число в тригонометрической форме:

Два комплексных числа считаются равными друг другу, если в отдельности равны их вещественные и мнимые части:

(51.6)

Модули двух равных между собой комплексных чисел одинаковы, а аргументы могут отличаться лишь слагаемым, кратным :

Из выражений (51.1) и (51.2) видно, что в случае, когда мнимая часть есть нуль, т. е. число оказывается чисто вещественным. Таким образом, условие вещественности числа можно записать в виде

В математике доказывается соотношение

которое называется формулой Эйлера. Заменив в этой формуле на и учтя, что получим соотношение

Сложим выражения (51.9) и (51.10) и решим получившееся соотношение относительно . В результате имеем

(51.11)

Вычтя (51.10) из (51.9), получим, что

С помощью формулы (51.9) комплексное число можно записать в показательной форме:

(51.12)

(см. (51.5)). Комплексно сопряженное число в показательной форме имеет вид

(51.13)

При сложении комплексных чисел складываются отдельно их вещественные и мнимые части:

(51.14)

Перемножение комплексных чисел удобно осуществлять, беря эти числа в показательной форме:

(51.15)

Модули комплексных чисел перемножаются, а аргументы складываются:

(51.16)

Аналогично осуществляется деление комплексных чисел:

(51.17)

Приняв во внимание формулы (51.12) и (51.13), легко получить, что

(51.18)

(квадрат модуля комплексного числа равен произведению этого числа на его комплексно сопряженное).