§ 88. Уравнение адиабаты идеального газа

В ходе какого-либо процесса газ, кроме уравнения состояния, подчиняется дополнительному условию, определяемому характером процесса. Так, например, в ходе процесса, называемого изобарическим, выполняется условие p=const. При изохори ческом процессе выполняется условие V=const. Наконец, при изотермическом процессе выполняется условие Для идеального газа условие const равнозначно условию

Уравнение (88.1) называется уравнением изотермы идеального газа, а кривая, определяемая этим уравнением, именуется изотермой.

Адиабатическим называется процесс, протекающий без теплообмена с внешней средой. Найдем уравнение, связывающее параметры идеального газа при адиабатическом процессе.

Подставим в уравнение (84.4) первого начала термодинамики выражение для идеального газа:

Так как для адиабатического процесса должно выполняться условие

Теперь выразим через в соответствии с уравнением состояния идеального газа:

и подставим это выражение в (88.2). В результате, сокращая на отличный от нуля множитель , получим

Преобразуем полученное выражение следующим образом:

Последнее соотношение можно записать в виде

откуда следует, что при адиабатическом процессе

(88.3)

В соответствии с (87.13) отношение можно заменить через , где . Произведя в (88.3) такую замену и пропотенцировав полученное выражение, придем к уравнению

(88.4)

Полученное соотношение представляет собой уравнение адиабаты идеального газа в переменных Т и V. От этого уравнения можно перейти к уравнению в переменных и V, заменив в нем Т через и V в соответствии с уравнением состояния идеального газа:

Подставив это выражение в (88.4) и учтя, что m, М и R — постоянные, получим

(88.5)

Соотношение (88.5) есть уравнение адиабаты идеального газа в переменных и V. Его называют также уравнением Пуассона.

Из сопоставления уравнения адиабаты (88.5) с уравнением изотермы (88.1) следует, что адиабата идет круче, чем изотерма. Вычислим для изотермы и адиабаты в одной и той же точке (рис. 88.1). Дифференцирование уравнения (88.1) дает

откуда для изотермы получаем

Продифференцировав (88.5), получим откуда

Таким образом, тангенс угла наклона адиабаты в у раз больше, чем у изотермы.

Во всех рассуждениях мы предполагали, что состояние газа в каждый момент времени характеризуется определенными значениями параметров и Т, т. е., иными словами, что рассматриваемый адиабатический процесс является обратимым. Как мы знаем, обратимым может быть только процесс, протекающий очень медленно. Вместе с тем, поскольку совершенно не проводящих тепло веществ в природе не существует, количество тепла, которым обменивается система с ее окружением, будет тем меньше, чем меньшее время длится процесс. Таким образом, близкими к адиабатическому могут быть только быстро протекающие процессы. Примером такого процесса могут служить сжатие и расширение, происходящие в каждой точке газа, в котором распространяется звуковая волна. Несмотря на то, что в пределах большого объема состояние газа при этом отнюдь не является равновесным ( и Т в разных точках различны), поведение газа в пределах каждого достаточно малого объема вполне удовлетворительно описывается уравнением адиабаты (88.5).

Рис. 88.1.