§ 94. Характер теплового движения молекул

Если газ находится в равновесии, молекулы движутся совершенно беспорядочно, хаотически. Все направления движения равновероятны, ни одному из них не может быть отдано предпочтение перед другими. Скорости молекул могут быть самыми различными по величине. При каждом соударении с другими молекулами величина скорости данной молекулы должна, вообще говоря, изменяться, причем с равной вероятностью она может как возрасти, так и уменьшиться.

Изменение скоростей молекул при столкновениях происходит случайным образом. Может случиться, что какая-то молекула в целом ряде последовательных соударений будет получать энергию от своих партнеров по столкновениям, в результате чего ее энергия значительно превзойдет среднее значение (е). Однако, даже если представить себе такой совершенно фантастический случай, при котором все молекулы газа остановятся, передав свою энергию одной единственной молекуле, то и тогда энергия этой молекулы, а следовательно, и ее скорость, будет конечна. Таким образом, скорость молекул газа вообще не может иметь значений, начиная с некоторого до

Рис. 94.1.

Учитывая, что процессы, которые привели бы к сосредоточению на одной молекуле заметной доли суммарной энергии всех молекул, маловероятны, можно утверждать, что слишком большие по сравнению со средним значением скорости могут реализоваться крайне редко. Точно так же практически исключено, что в результате соударений скорость молекулы станет равной точно нулю. Следовательно, очень малые и очень большие по сравнению со средним значением скорости маловероятны, причем вероятность данного значения v стремится к нулю как при v О, так и при . Из сказанного следует, что скорости молекул группируются в основном вблизи некоторого наиболее вероятного значения.

Хаотичность движения молекул можно сделать наглядной с помощью следующего приема. Окружим точку О сферой произвольного радиуса (рис. 94.1). Любая точка А на этой сфере определяет направление от О к А. Следовательно, направления, в которых движутся в некоторый момент времени молекулы газа, могут быть заданы точками на сфере. Равновероятность всех направлений приводит к тому, что точки, изображающие направления движения молекул, распределяются по сфере с постоянной плотностью, равной числу рассматриваемых молекул N, деленному на поверхность сферы Соударения приводят к изменению направлений движения молекул, в результате чего положения N точек на сфере непрерывно меняются. Однако вследствие хаотичности движения плотность точек в любом месте сферы остается все время постоянной.

Число возможных направлений в пространстве бесконечно велико. Реализуется же в каждый момент времени конечное число направлений, равное рассматриваемому количеству молекул. Поэтому постановка вопроса о числе молекул, имеющих заданное (изображаемое точкой на сфере) направление движения, лишена смысла. Действительно, поскольку число возможных направлений бесконечно велико, а число молекул конечно, вероятность того, что в строго определенном направлении летит хотя бы одна молекула, равна нулю. Правомерна постановка вопроса о том, какое количество молекул движется в направлениях, близких к данному (определяемому точкой А на сфере). Таким направлениям соответствуют все точки элемента поверхности сферы , взятого в окрестности точки А (см. рис. 94.1). Поскольку точки, изображающие направления движения молекул, распределены по сфере равномерно, в пределах окажется количество точек, равное

Индекс А при указывает на то, что имеются в виду молекулы, направления движения которых близки к направлению, определяемому точкой А.

Отношение есть телесный угол , опирающийся на площадку . Поэтому формулу (94.1) можно записать следующим образом:

Здесь — телесный угол, в пределах которого заключены направления движения рассматриваемых молекул. Напомним, что ; есть полный телесный угол (отвечающий всей поверхности сферы).

Рис. 94.2.

Рис. 94.3.

Направление отрезка ОА можно задать с помощью полярного угла 0 и азимутального угла (рис. 94.2). Следовательно, направления движения молекул газа можно охарактеризовать, задав для каждой молекулы значения углов Ф и отсчитываемых от некоторого фиксированного направления (в качестве такого направления можно взять, например, направление нормали к поверхности сосуда, в котором заключен газ) и проведенной через него плоскости

Окружим начало координат О сферой радиуса и найдем элемент сферы, соответствующий приращениям углов (рис. 94.3). Рассматриваемый элемент представляет собой прямоугольник со сторонами и . Таким образом,

Полученное выражение дает элемент поверхности в сферической системе координат.

Разделив выражение на найдем элемент телесного угла отвечающий интервалам углов от до и от

Две сферы с радиусами и два конуса с углами раствора и две плоскости, образующие с углы выделяют в пространстве прямоугольный параллелепипед со сторонами (см. рис. 94.3).

Объем этого параллелепипеда

(94.5)

представляет собой элемент объема в сферической системе координат (объем, отвечающий приращению координат , на ).

Перейдя в (94.2) от дельт к дифференциалам и подставив выражение (94.4) для придем к формуле:

Индексы и при указывают на то, что имеются в виду молекулы, направления движения которых отвечают интервалам углов от 0 до и от до