ГЛАВА IX. ГИДРОДИНАМИКА

§ 72. Линии и трубки тока. Неразрывность струи

Кроме механики материальной точки и механики твердого тела, которые рассматривались в предыдущих главах, существует еще механика сплошных сред. Эта наука охватывает гидродинамику, газовую динамику, теорию упругости и ряд других дисциплин, рассматривающих вещество как непрерывную среду. Гидродинамика представляет собой раздел механики сплошных сред, в котором изучается движение несжимаемых жидкостей и взаимодействие несжимаемых жидкостей с твердыми телами.

Чтобы описать движение жидкости, можно задать положение каждой частицы жидкости как функцию времени. Такой способ описания разрабатывался Лагранжем. Но можно следить не за частицами жидкости, а за отдельными точками пространства, и отмечать скорость, с которой проходят через каждую данную точку отдельные частицы жидкости. Второй способ называется методом Эйлера.

Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени. Совокупность векторов v, заданных для всех точек пространства, образует так называемое поле вектора скорости, которое можно изобразить следующим образом. Проведем в движущейся жидкости линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала по направлению с вектором v (рис. 72.1). Эти линии называются линиями тока. Условимся проводить линии тока так, чтобы густота их (которая характеризуется отношением числа линий к величине перпендикулярной к ним площадки , через которую они проходят) была пропорциональна величине скорости в данном месте.

Рис. 72.1.

Тогда по картине линий тока можно будет судить не только о направлении, но и о величине вектора v в разных точках пространства: там, где скорость больше, линии тока будут гуще и, наоборот, где скорость - меньше, линии тока будут реже.

Поскольку величина и направление вектора v в каждой точке могут меняться со временем, то и картина линий тока может непрерывно меняться. Если вектор скорости в каждой точке пространства остается постоянным, то течение называется установившимся, или стационарным. При стационарном течении любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одним и тем же значением v. Картина линий тока при стационарном течении остается неизменной, и линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Вектор v, будучи в каждой точке касательным к линии тока, будет касательным и к поверхности трубки тока, следовательно, частицы жидкости при своем движении не пересекают стенок трубки тока.

Рис. 72.2.

Рис. 72.3.

Возьмем перпендикулярное к направлению скорости сечение трубки тока S (рис. 72.2). Предположим, что скорость движений частиц жидкости одинакова Во всех точках этого сечения. За время через сечение S пройдут все частицы, расстояние которых от S в начальный момент не превышает значения Следовательно, за время через сечение S пройдет объем жидкости, равный а за единицу времени через сечение S пройдет объем жидкости, равный Возьмем трубку тока, настолько тонкую, что в каждом ее сечении скорость можно считать постоянной. Если жидкость несжимаема (т. е. плотность ее всюду одинакова и изменяться не может), то количество жидкости между сечениями S, и (рис. 72.3) будет оставаться неизменным. Отсюда следует, что объемы жидкости, протекающие за единицу времени через сечения должны быть одинаковы:

(напомним, что через боковую поверхность трубки тока частицы жидкости не проходят).

Приведенное выше рассуждение применимо к любой паре сечений . Следовательно, для несжимаемой жидкости величина в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинакова:

(72.1)

Полученный нами результат представляет собой содержание теоремы о неразрывности струи.

Из (72.1) следует? что при переменном сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением. В горизонтальной трубке тока (рис. 72.4) это ускорение может быть обусловлено только непостоянством давления вдоль оси трубки — в местах, где скорость меньше, давление должно быть больше, и наоборот. Количественная связь между скоростью течения и давлением будет установлена в следующем параграфе.

Теорема о неразрывности струи применима к реальным жидкостям и даже к газам в том случае, когда сжимаемостью их можно пренебречь. Соответствующий расчет показывает, что при движении жидкостей и газов со скоростями, меньшими скорости звука, их с достаточной степенью точности можно считать несжимаемыми.

Рис. 72.4.