ГЛАВА XI. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

§ 93. Некоторые сведения из теории вероятностей

Пусть имеется некоторая макроскопическая система, находящаяся в заданном состоянии. Предположим, что какая-то характерная для системы величина может иметь дискретные значения:

Осуществим над системой очень большое число N измерений величины приводя систему перед каждым измерением в одно и то же исходное состояние. Вместо того, чтобы производить повторные измерения над одной и той же системой, можно взять N одинаковых систем, находящихся в одном и том же состоянии, и осуществить однократное измерение величины у всех этих систем. Такой набор одинаковых систем, находящихся в одинаковом состоянии, называется статистическим ансамблем.

Допустим, что измерений дали результат измерений — результат измерений — результат — числу систем в ансамбле). Величина именуется относительной частотой появления результата а предел этой величины, получающийся при стремлении N к бесконечности, т. е.

называется вероятностью появления результат . В дальнейшем для упрощения формул мы будем выражение для вероятности писать в виде , подразумевая, что производится предельный переход при

Поскольку то

т. е. сумма вероятностей всех возможных результатов измерения равна единице.

Вероятность получить результат либо равна

Таким образом, мы пришли ктеореме о сложении вероятностей, которая утверждает, что

Пусть система характеризуется значениями двух величин х и у, причем обе величины могут принимать дискретные значения, вероятности появления которых равны

Найдем вероятность того, что при некотором измерении для х будет получен результат а для у — результат Результат получится в числе измерений, равном Если значение величины у не зависит от значения величины х, то результат будет получаться одновременно с в числе случаев, равном

( играет для роль N). Искомая вероятность равна

Мы пришли к теореме об умножении вероятностей, согласно которой вероятность одновременного появления статистически независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Зная вероятности появления различных результатов измерения, можно найти среднее значение всех результатов. По определению среднего

Распространим полученные результаты на случай, когда характеризующая систему величина может принимать непрерывный ряд значений от 0 до . В этом случае говорят, что величина х имеет сплошной (или непрерывный) спектр значений (в предыдущем случае спектр значений был дискретным).

Возьмем очень малую величину а (скажем, и найдем число измерений при которых при которых при которых результат измерений находится в интервале от х до и т. д. Вероятность того, что результат измерений окажется в интервале от нуля до а, равна в интервале от а до в интервале от х до .

Начертим ось х и отложим вверх от нее полоски ширины а и высоты (рис. 93.1, а). Полученная столбчатая диаграмма называется гистограммой. Площадь полоски, левый край которой имеет координату х, равна , а площадь всей гистограммы — единице (см. (93.2)).

Рис. 93.1.

Гистограмма наглядно характеризует вероятность получения результатов измерений, заключающихся в различных интервалах ширины а. Чем меньше ширина интервала а, тем детальнее будет охарактеризовано распределение вероятностей значений величины х. В пределе при ступенчатая линия, ограничивающая гистограмму, превратится в гладкую кривую (рис. 93.1, б). Функция определяющая аналитически эту кривую, называется функцией распределения вероятностей.

В соответствии со способом построения кривой распределения площадь столбика ширины (см. рис. 93.1, б) равна вероятности того, что результат измерения окажется в пределах от х до x+dx. Обозначив эту вероятность через можно написать, что

Индекс при указывает на то, что имеется в виду вероятность для интервала, левый край которого лежит в точке с координатой х. Площадь, ограниченная кривой распределения, так же как и площадь гистограммы, равна единице. Это означает, что

Интегрирование производится по всему интервалу возможных значений величины х. Формула (93.7) является аналогом формулы (93.2).

Зная функцию распределения можно найти среднее значение результатов измерения величины х. В случаях получается результат, равный х. Сумма таких результатов определяется выражением

Сумма всех возможных результатов равна Разделив эту сумму на число измерений N, получим среднее значение величины

Эта формула является аналогом формулы (93.5).

Подставив в (93.8) выражение (93.6) для придем к формуле

Аналогичные рассуждения дают, что среднее значение некоторой функции можно вычислить по формуле

(93.10)

Например,

(93.11)