§ 38. Вращение тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси (рис. 38.1). Чтобы удежать ось перемещений в пространстве заключим ее в подшипники. опирающися на нижний подшипник фланец 345 предотвращает перемещение оси в вертикальном направлении.

Абсолютно твердое тело дано рассматривать как систему частиц (материальных точек) с неизменными расстояниями между ними. Для всякой системы частиц справедливо полученное в § 29 уравнение

(см. рис. 29.18)). Это уравнение справедливо и для твердого тела. В последнем случае М есть момент импульса тела; справа в (38.1) стоит сумма моментов внешних сил, действующих на теле.

Возьмем на оси вращения точку О и будем характеризовать положение образующих тело частиц с помощью радиусов-векторов , проведенных из этой точки (на рис. 38.1 показана частица с массой кружком с крестиком показана скорость - частицы, направленная за чертеж). Согласно (29.5) момент импульса частицы относительно точки О равен

Векторы для всех частиц тела взаимно перпендикулярны. Поэтому модуль вектора (38.2) равен

где — расстояние частицы от оси вращения (см. формулу (5.7)).

Отметим, что согласно (38.3) модуль вектора пропорционален скорости вращения тела направление же вектора от не зависит — этот вектор лежит, в плоскости, проходящей через ось вращения и частицу и перпендикулярен к .

Легко убедиться в том, что для всех образующих тело частиц угол между векторами является острым. Поэтому проекции этих векторов на совпадающую с осью вращения ось z имеют одинаковые знаки. С учетом этого можно записать, что

Здесь — угол между вектором М и осью . При изменении направления оси на обратное обе проекции — — изменяют знак, однако равенство (38.4) остается справедливым.

Просуммировав выражение (38.4) по всем частицам, получим момент импульса тела относительно совпадающей с осью вращения оси

(38-5)

Величина равная сумме произведению элементарных масс на квадраты их расстояний от некоторой оси, называется, моментом инерции тела относительно данной оси:

Суммирование производится всем элементарным массам на которые можно разбить тело.

Приняв во внимание формулу (38.6), выражение (38.5) можно представить в виде -

Рис. 38.1

Полученная формула аналогична формуле . Роль массы играет момент инерции, роль линейной скорости - угловая скорость.

Из вида выражения (38.7) следует, что величина М не зависит от того, относительно какой точки О (лежащей на оси вращения) берется момент М.

Согласно (29.19)

Подставив сюда выражение (38.7) для придем К уравнению

где есть проекция углового ускорения на ось . Уравнение (38.8) аналогично уравнению Роль массы играет момент инерции, роль линейного ускорения - угловое ускорений и, наконец, роль результирующей силы — суммарный момент внешних сил.

Сумма выражений (38.2) дает момент импульса тела относительно точки О (см. рис. 38.1):

В общем случае вектор М не совпадает по направлению с осью вращения тела и поворачивается вместе с телом Вокруг этой оси, описывая конус (рис. 38.2).

Из соображений симметрии ясно, что для однородного тела, симметричного относительно оси вращения (для однородного тела вращения), момент импульса относительно точки О, лежащей на оси вращения, совпадает по направлению с вектором . В этом случае модуль момента, импульса М равен — модулю проекции М на ось . Приняв во внимание выражение (38.7), получим что

Наконец, учтя, что векторы М и имеют одинаковое направление, придем к соотношению

Напомним, что, в отличие от соотношения (38.7) справедливо для любого тела, соотношение (38.10): имеет место лишь в случае тела, вращающегося вокруг оси симметрии, а также как мы увидим ниже, для несимметричного тела, вращающегося вокруг одной из своих главных осей инерции.

В случае, когда ось вращения проходит через центр масс тела С, значение момента М не зависнтот положения на оси вращения точки О, относительно которой он берется. Действительно, возьмем на оси вращения точки О и смещенные друг относительно друга на отрезок а (рис. 38,3).

Из рисунка видно, что Момент импульса относительно точки О равен

Второе слагаемое в правой части представляет собой момент импульса М относительно точки . Первое слагаемое можно преобразовать следующим образом:

Поскольку центр масс лежит на оси вращения, следовательно, Для однородного тела, вращающегося вокруг оси симметрии, независимость М от положение точки О вытекает из вида формулы (38.10).

Рис. 38.2.

Рис. 38.3.

В случае вращения вокруг вертикальной оси однородного симметричного тела силы бокового давления подшипников на ось (см. рис. 38.1) не возникают. В отсутствие силы тяжести прдшшшики можно было бы убрать — ось и без них сохраняла бы свое положение в пространстве. Ось, положение которой в пространстве остается неизменным при вращении вокруг Тела в отсутствие внешних сил, называется свободной осью тела.

Можно доказать, что для тела любой формы и с произвольным распределением массы существуют три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр масс тела оси, которые Могут служить свободными осями; они называются главными осями инерции тела.

У однородного параллелепипеда (рис. 38.4) главными, осями инерции будут очевидно, оси проходящие через центры противолежащих гранёй.

У тела, обладающего осевой симметрией (например, у однородного цилиндра), одной из главных осей инерций является ось симметрии, в качестве ддух других осей могут служить две любые взаимно перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии и проходящие через центр масс тела (рис. 38.5). Таким образом, у тела с осевой симметрией фиксирована только одна из главных осей инерции.

У тела с центральной симметрией, т. е. у шара, плотность которого зависит только от расстояния от центра, главными осями инерции являются три любые взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс. Следовательно, ни одна из главных осей инерции нефиксирована.

Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции тела. В общем случае эти моменты различны: . Для тела с осевой симметрией два главных момента инерции имеют одинаковую величину, третий же, вообще говоря, отличен от них; . И, наконец, в случае тела с центральной симметрией все три главных момента инерции одинаковы:

Равными значениями главных моментов инерции обладает не только однородный шар, но и, скажем, однородный куб.

Рис. 38.4.

Рис. 38.5.

В общем случае также равенство может наблюдаться при надлежащем распределенни массы для тела совершенно произвольной формы. Вот подобные тела называют шаровыми волчками. Характерным для них является то, что любая ось, проходящая через центр масс, обладает свойствами свободной оси и, следовательно, ни одна из главных осей инерции не фиксирована, как и для шара. Все шаровые волчки ведут себя при вращении в идентичных условиях одинаковым образом.

Тела, для которых ведут себя как однородные тела вращения. Их называют симметричными волчками. Наконец, тела с , называют асимметричными волчками.

Если тело вращается в условиях, когда какое-либо воздействие. извне отсутствует, то устойчивым оказывается тальке вращение вокруг главных осей, соответствующих максимальному и минимальному значениям момента инерции. Вращение же вокруг соответствующей промежуточному велячине моменту, будет неустойчивым. Это означает, что силы, возникающие при малейшем отклонении оси вращения от этой главной оси, действуют в таком направлении, что величина этого отклонения возрастает. При отклонении вращения от устойчивой оси под действием возникающих при этом тело возвращается к вращению вокруг соответствующей главной оси.

В сказанном можно убедиться попытавшись подбросить какое-либо тело, имеющее форму параллепипеда (например, коробок спичек), приведаегобднй временво во вращение. При этом обнаружится, что тело, падая, может вращаться устойчиво вокруг осей, проходящих через наибольшие или наименьшие грани. Попытки же подбросить тело, так чтобы оно вращалось вокруг оси, проходящей через средние грани, будут безуспешными.

При наличии внешнего воздействия, например, со стороны нити, за которую подвешено вращающееся тело, устойчивым оказывается только вращение вокруг главной оси, соответствующей наибольшему значению инерции. По этой причине тонкий стержень, подвешенный на нити, прикрепленной к его концу, при быстром вращении будет в конечном итоге вращаться вокруг перпендикулярной к нему оси, проходящей через центр (рис. 38.6, a). Аналогичным образом ведет себя диск, подвешенный на прикрепленной к его краю нити (рис. 38.6, б).

До сих пор речь шла о телах с неизменным распределением массы. Тенерь предположим, что твердое тело может на какое-то время утрачивать свойство неизменности взаимного расположения его частей, причем в течение Зтого времени происходит перераспределение массы тела, в результате которого момент инерции изменяется от значения до значения .

Рис. 38.6.

Если такое перераспределение осуществляется в условиях, когда то согласно закону сохранения момента, импульса должно выполняться равенство

где — исходное, — конечное значение угловой скорости тела. Таким образом, изменение момента инерции влечет за собой соответствующее изменение угловой скорости. Этим объясняется обычно демонстрируемое явление, заключающееся в том, что человек, стоящий на вертящейся скамье, разводя руки в стороны, начинает вращаться медленнее, а прижимая руки к туловищу, начинает вращаться быстрее.