§ 67. Релятивистское выражение для импульса

Уравнения Ньютона инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея (см. § 12). Однако по отношению к преобразованиям Лоренца они оказываются не инвариантными. В частности, не инвариантен по отношению к преобразованиям Лоренца вытекающий из законов Ньютона закон сохранения импульса (см. § 27). Чтобы убедиться в этом, рассмотрим, как выглядит в системах К и К абсолютно неупругий удар двух одинаковых шаров массы (рис. 67.1).

Пусть в системе К шары движутся навстречу друг другу вдоль оси х с одинаковыми по величине скоростями, проекции которых на ось х равны: и — относительная скорость систем К и При этих условиях после столкновения шары будут покоиться:

Рис. 67.1.

Таким образом, полный импульс системы и до, и после столкновения равен нулю — в системе К импульс сохраняется.

Теперь рассмотрим тот же процесс в системе К. Воспользовавшись первой из формул (66.2), найдем для скоростей шаров до столкновения значения а для скоростей шаров после столкновения совпадающее значение . Следовательно, суммарный импульс до столкновения равен а лосле столкновения составляет Если импульс системы до и после столкновения практически одинаков. Однако при движении шаров с большой скоростью различие начального и конечного импульсов делается весьма ощутимым. Таким образом, воспользовавшись ньютоновским выражением для импульса, мы пришли к выводу, будто в системе К импульс не сохраняется. Один из основных законов механики — закон сохранения импульса — в ньютоновской формулировке оказывается неинвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца.

Попытаемся найти такое выражение для импульса, чтобы закон сохранения импульса был инвариантен по отношению к преобразованиям Лоренца.

При этом будем иметь в виду, что при малых скоростях релятивистское выражение для импульса должно переходить в ньютоновское выражение

Предположим, что выражение для импульса частицы массы имеет вид

где v — скорость, v — модуль скорости частицы, — некоторая безразмерная функция V. Для того чтобы при выражение (67.2) переходило в (67.1), функция должна для таких скоростей практически равняться единице.

Рассмотрим абсолютно упругое соударение двух одинаковых частиц массы в системе их центра инерции. В этой системе суммарный импульс частиц равен нулю. Следовательно, скорости частиц одинаковы по величине и противоположны по направлению (рис. 67,2, а). В силу законов сохранения энергии и импульса скорости частиц после удара должны иметь ту же величину, что и до удара, а направления скоростей должны быть противоположными (см. рис. 67.2 а).

Рис. 67.2.

Выберем оси координат так, чтобы скорости частиц лежали в плоскости х, у и располагались относительно оси х симметрично. Тогда соударение частиц в системе будет выглядеть так, как показано на рис. 67.2, б.

Перейдем от системы отсчета к системе К, относительно которой частица 2 движется параллельно оси у. В этой системе соударение выглядит так, как показано на рис. 67.3, а. Рядом со стрелками, изображающими скорости или их составляющие по координатным осям, указаны модули соответствующих скоростей или составляющих.

Наконец, перейдем к системе отсчета К, относительно которой частица 1 движется параллельно оси у (рис. 67.3, б). Значения на рис. 67.3, а и 67.3, бодни и те же, так как вследствие симметрии задачи при переходе от системы К к системе К частицы обмениваются скоростями.

Мы исходили из того, что суммарный импульс частиц сохраняется при соударении в системе Потребуем, чтобы закон сохранения импульса выполнялся и в системе Из рис. 67,3 б видно, что иксовая компонента суммарного импульса частиц в системе К в результате соударения не изменяется.

Рис. 67.3.

Должна оставаться неизменной также игрековая компонента суммарного импульса частиц. С учетом (67.2) сохранение игрековой компоненты запишется аналитически следующим образом:

Отсюда вытекает, что

В системе К игрековая компонента о начальной скорости частицы 2 равна до, а иксовая компонента — нулю. В системе К игрековая компонента начальной скорости частицы 2 равна . Относительная скорость систем К и К равна v. Согласно, второй из формул (66.1) величины связаны соотношением

Подстановка этого значения и в равенство (67.3) дает, что

Пусть до (а значит, и и) много меньше с, в то время как v сравнима со скоростью света с (частицы до и после соударения летят почти параллельно оси х).

Тогда можно положить равной единице (при импульс определяется формулой (67.1)), a считать равным v. Саму же v можно рассматривать не как величину составляющей скорости вдоль оси а как величину скорости частицы. В этом случае соотношение (67.4) принимает вид

откуда

Подстановка этой функции в (67.2) приводит к релятивистскому выражению для импульса;

Выражение (67.5) можно представить в виде

где — промежуток собственного времени частицы, за. который она получает смещение (см. (64.3)). Отметим, что в формуле (67.6) есть перемещение частицы в той сиртеме отсчета, в которой определяется импульс ; промежуток времени определяетсяпо часам, движущимся вместе с частицей.

Входящая в формулу (67.5) масс представляет собой инвариантную и, следовательно, не зависящую от скорости тела велит чину.

Из (67.5) следует, что зависимость импульса от скорости оказывается более сложной, чем это предполагается в ньютоновской механике. При выражение (67.5) переходит в ньютоновское выражение

Заметим, что выражение (67.5) допускает следующую, все реже используемую трактовку. Импульс, как и в ньютоновской механике, равен произведению массы тела на его скорость:

Однакб масса тела не является постоянной инвариантной величиной, а зависит от скорости по закону