9.6. Выходные величины обобщенного импульсного элемента и многократные импульсные системы

На рис. 9.15 изображена разомкнутая система с идеальным импульсным элементом. Предположим, что импульсный элемент произвольно замыкается в моменты времени и размыкается в моменты и т.д. Пусть входная величина импульсного элемента имеет вид, изображенный на рис. 9.16, а. Соответствующая выходная величина идеального импульсного элемента в этом случае представляет собой функцию времени изображенную на рис. 9.16, б.

Рис. 9.15. Импульсная система с идеальным конечным временем съема данных.

Из рассмотрения графиков видно, что функция времени соответствующая выходной величине импульсного элемента, может быть получена умножением функции, представляющей входную величину на функцию изображенную на рис. 9.16, в, т. е.

для всех остальных моментов времени. Подобно случаю, рассмотренному выше, при котором все импульсы имели одинаковую длительность, импульсный элемент в данном случае может быть рассмотрен как множительное устройство, которое непрерывно во времени умножает значения функции на некоторую функцию В результате получается выходная величина

Преобразование Лапласа выражения (9.62) согласно (9.3) может быть записано следующим образом:

где

а представляет собой путь интегрирования, выбранный таким образом, что он охватывает слева все полюсы функции

Рис. 9.16. (см. скан) Построение выходной величины импульсного элемента умножением входного воздействия на импульсную функцию входное воздействие на импульсный элемент; б) выходная величина идеального импульсного элемента; в) импульсная функция

Но преобразование Лапласа для единичной функции имеет вид

Следовательно, изображение выходной величины импульсного элемента может быть записано в виде

Из рис. 9.16, б также видно, что путем последовательной суперпозиции

функция может быть также представлена в виде

В том частном случае, когда импульсный элемент синхронизирован (т. е. ) и работает периодически, как это было рассмотрено ранее, выражение для может быть записано в виде

где -период повторения импульсного элемента, длительность импульса. В этом случае уравнение (9.69) преобразуется к виду

который идентичен выражению (9.6). Изображения могут быть вычислены методом вычетов по выражениям (9.69) и (9.71).

Интегралы (9.69) и (9.71) могут быть записаны в сокращенной форме, если применить обозначения -преобразования. Пусть

Тогда (9.69) для случая непериодически действующего импульсного элемента принимает вид

Подобно этому выражение (9.71) для случая периодически действующего импульсного элемента может быть записано в виде