9.14. Рдспространение метода p-преобразования на замкнутые системы

На рис. 9.22, а изображена замкнутая импульсная система с конечным временем съема данных. Определение выходной величины с при заданном входном воздействии и представляет собой цель анализа такой системы. Сделаем два общих допущения относительно всех замкнутых систем, которые мы будем рассматривать.

1. В момент все начальные условия равны нулю.

2. Системы обладают непрерывной характеристикой при входном воздействии вида скачка, а именно: степень знаменателя выражения передаточной функции на один или более порядков выше степени числителя.

Первое предположение сделано нами, чтобы иметь возможность представить рассматриваемую систему передаточной функции Второе предположение исключает разрывы, которые иначе возникли бы в выходной величине вследствие ступенчатой характеристики входных импульсов. Это означает, что выходная величина в конце одного периода повторения такая же, как в начале следующего. Это свойство используется при последующем анализе. В случае необходимости эти предположения могут быть изменены. Однако было найдено, что большинство систем удовлетворяет этим условиям.

Ниже мы изучим замкнутую систему, изображенную на рис. 9.22, а. Принципы, примененные анализа этой системы, могут быть также

применены с незначительными видоизменениями для анализа и более общих структур.

Пусть импульсный элемент рис. 9.22, а, который не обязательно периодический, замыкается в заданные моменты остается замкнутым в течение секунд, после чего размыкается в моменты Длительность импульсов и моменты замыкания импульсных элементов могут зависеть от любой желаемой величины.

Рис. 9.22. Замкнутая импульсная система с конечным временем съема данных и эквивалентная ей структура.

Это не мешает нашим расчетам, если только моменты, в которые срабатывает импульсный элемент, известны или могут быть найдены вычислениями.

Система, изображенная на рис. 9.22, а, может быть заменена эквивалентной системой, изображенной на рис. 9.22, б. Эта структура состоит из бесконечного числа импульсных элементов, работающих параллельно. Каждый импульсный элемент замыкается и размыкается только один раз; импульсный элемент замыкается в момент и размыкается в момент и все время остается после этого разомкнутым. Рассмотрим выходную величину в течение

интервала времени (граничные точки могут быть включены в этот интервал благодаря первому из упомянутых выше предположений). При нулевых начальных условиях единственным элементом, от которого получается составляющая выходной величины в течение этого интервала, является нулевой элемент. Этой составляющей выходной величины соответствует изображение Все другие импульсные элементы пока еще не замкнулись и не добавляют своих составляющих к суммарной выходной величине. Поэтому справедливо

и система рис. 9.22, б может быть изображена в течение этого промежутка в виде, показанном на рис. 9.23.

Рис. 9.23. Система, эквивалентная структуре рис. 9.22, в интервале

Рассмотрим теперь первый входной импульс и его воздействие на выходную величину Из рис. 9.23 видно, что пока импульсный элемент замкнут,

В течение этого интервала выходная величина, а следовательно, и ошибка такие же, как в непрерывной системе. Поэтому справедливо

В момент импульсный элемент размыкается и, следовательно, входная величина равна нулю для всех значений времени больших чем Таким образом, можно записать следующее выражение:

которое может быть переписано так:

где в общем виде через обозначен импульс единичной амплитуды, существующий при а в остальных моментах равный нулю.

Теперь мы можем воспользоваться -обозначением для того, чтобы написать изображение, соответствующее (9.165), в виде

Выражение, обратное (9.166), удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на уравнениями (9.162) и (9.164). Поэтому изображение составляющей выходной величины от первого импульса принимает вид

Выражение (9.167) описывает составляющую изображения выходной величины следовательно, обратное ему выражение описывает для любого момента времени. Учитывая это и выражение (9.161), суммарную выходную величину для интервала можно записать так:

Так как известны выражения для и то выходная величина с для этого интервала может быть вычислена из выражения, обратного выражению (9.168).

Рассмотрим теперь выходную величину в течение интервала т. е. в течение следующего интервала повторения. Во время этого периода общая выходная величина равна сумме составляющих выражений все остальные составляющие равны нулю. Рис. 9.22, а, следовательно, может быть заменен эквивалентной системой, изображенной на рис. 9.24, а. Эта система в свою очередь может быть упрощена и сведена к системе, изображенной на рис 9.24, б. Та часть этой структуры, которая расположена слева от суммирующего элемента, теперь может быть рассмотрена как независимый узел, обладающий нулевыми начальными условиями. Эта часть содержит импульсный элемент, который все время разомкнут, за исключением интервала, когда а на вход ее подается известное воздействие определяемое уравнением

Изображение выходной величины этой системы может быть вычислено следующим образом. Предположим, что входная величина представляет собой функцию времени, изображенную на рис. 9.25, а. Значения этой функции на интервале не имеют никакого влияния на выходную величину так как в это время импульсный элемент разомкнут.

Рис. 9.24. Система, эквивалентная структуре рис. 9.22, на интервале

Поэтому мы можем предположить, что она равна нулю и ее удобно заменить новой функцией изображенной на рис. 9.25, б, где справедливо

Выражение (9.170) также может быть записано в виде

Используя -обозначения, изображение этого выражения можно записать так:

При нулевых начальных условиях выходная величина также равна нулю на интервале Это показано графически на рис. 9.25, в. Ошибка определяется выражением

Это выражение может быть заменено выражением

без всякого влияния на фактическую выходную величину. Таким образом, можно считать, что действующая ошибка равна нулю на интервале как это изображено на рис. 9.25, г. Импульсный элемент замыкается в момент остается замкнутым в течение секунд, размыкается в момент и затем остается разомкнутым. Фактически входная величина системы от этого замыкания представляет собой импульс изображенный на рис. Мы можем воспользоваться следующим приемом для нахождения изображения импульса и тем самым для нахождения выходной величины Пусть представляет собой новую ось времени, смещенную так, что справедливо выражение

В этом случае выражения для могут быть выражены через в виде

где новые функции принимают вид, изображенный на соответствующих кривых рис. 9.26, а, б, в, г, а через обозначено запаздывание в секунд вдоль оси времени. Изображения, соответствующие выражениям (9.176), принимают вид

Таким образом, создалось положение, идентичное тому, которое имело место при первом импульсе, но относительно оси времени а именно: входная величина замыкается на интервале и подается на вход системы, обладающей нулевыми начальными условиями. Повторяя процедуру, описанную выше, систему уравнений

(кликните для просмотра скана)

относительно оси времени можно записать в виде

и поэтому

Изображение выходной величины теперь может быть записано в виде

Для того чтобы найти суммарную выходную величину, необходимо это выражение представить в виде функции времени Это может быть выполнено, если воспользоваться выражениями (9.177). Подставив выражения (9.177 а и б) в уравнение (9.180), получим

Подставляя выражение для из (9.172) в уравнение (9.181), получим

Выражение (9.182) представляет собой изображение выходной величины следовательно, выражение, обратное ему, есть для всех значений времени больших нуля. Суммарное изображение выходной величины для интервала может быть записано в виде

Это выражение может быть найдено с помощью выражений (9.167) и (9.182). Продолжая таким же образом, мы можем найти суммарную выходную величину для любого момента времени. Нетрудно обобщить этот прием и показать, что составляющая выходной величины вызванная импульсом, равна

Из (9.184) изображение суммарной выходной величины в течение интервала можно найти, используя соотношение

При численных вычислениях выражение (9.184) для упрощается, при составляющие имеют полюсы, одинаковые с полюсами Это справедливо вследствие того, что, после того как импульсный элемент размыкается, обратная связь отсутствует и нарастание или затухание процессов в системе целиком зависит от полюсов выражения Сумма этих составляющих, следовательно, может быть выражена в виде многочлена, знаменатель которого идентичен знаменателю выражения а числитель зависит от значения

Мы показали, что принцип суперпозиции в сочетании с некоторыми свойствами -преобразования может быть использован для нахождения выходной величины замкнутой импульсной системы с конечным временем съема данных, импульсный элемент которой не периодический. Поочередный анализ, шаг за шагом, необходим во всех случаях, когда работа импульсного элемента происходит не периодически.