6.12. Математическая сторона аппроксимации

Проектирование цепей с сосредоточенными постоянными, обеспечивающих требуемый выходной сигнал при заданном входном сигнале, представляет собой задачу синтеза временным методом. Ба Хли разработал метод решения задач синтеза этого вида.

В этом методе при обычном его использовании часть задачи состоит в том, чтобы найти некоторую временную последовательность для представления импульсной характеристики цепи, обладающей желаемой передаточной функцией. Указанная временная последовательность получается в результате деления изображений

квантованной по времени выходной величины на соответствующие изображения квантованных по времени значений входной величины. В результате этого деления получается изображение последовательности значений, пропорциональных площадям; последняя, как временная последовательность, образует ступенчатую функцию, являющуюся приближением гладкой импульсной характеристики требуемой цепи. В рассматриваемой задаче коррекции эта часть задания уже выполнена, так как уже известна (по коэффициентам разложения в степенной ряд передаточной функции дискретного корректирующего устройства, полученного методом синтеза, изложенного в гл. V) точная ступенчатая функция времени, представляющая собой импульсную характеристику дискретного корректирующего устройства и фиксирующего устройства. Таким образом, необходимо только найти функцию

которая обладает импульсной характеристикой, аппроксимирующей реакцию дискретного корректирующего устройства и фиксирующего устройства нулевого порядка. По методу аппроксимация состоит в сопоставлении временных моментов, вытекающих непосредственно из определения преобразования Лапласа. Подынтегральный множитель в преобразовании Лапласа заменяется степенным рядом; таким образом,

где представляет собой площадь импульсной характеристики, а при п. 1 представляют собой временные моменты.

Для того чтобы импульсные реакции имели приближенно ту же форму, что и функция, из которой получились коэффициенты разложения в ряд выражения (6.99) должны соответствовать членам Поэтому должны быть удовлетворены из следующих уравнений (ввиду того что один из параметров может быть нормирован, в действительности требуется решить только уравнение):

Эти уравнения свидетельствуют о том, что вообще аппроксимация получается тем лучше, чем цепь сложнее.

В импульсной системе с квантованием ошибки, где требуется, чтобы выходная величина корректирующего устройства имела в начале большой разрыв непрерывности, относительный порядок выражения (6.99) определяется как так как входная величина математически рассматривается как последовательность импульсов, когда фиксирующее устройство не предшествует цепи.

Ввиду ступенчатой природы импульсной характеристики дискретного корректирующего устройства и фиксирующего устройства нулевого порядка, моменты легко вычисляются без всякого приближения, за исключением пренебрежения малыми значениями импульсных характеристик, соответствующих большим значениям времени (когда ошибка стремится к нулю). Решение вопроса о том, какая часть импульсной характеристики существенна при вычислении моментов, а также и выбор числа которое определяет допустимую сложность корректирующего устройства, требуют некоторого размышления. Удовлетворительную практическую точность получаем при прекращении вычислений параметров, когда импульсная характеристика достигает примерно 10% своего первоначального значения импульсной реакции. Погрешность аппроксимации может быть последовательно уменьшена путем увеличения объема вычислений.

Прежде чем перейти к примерам применения этого метода, целесообразно упомянуть о необходимости использования аналогового вычислительного устройства для этого метода синтеза. Несмотря на то что задачи обращения значительно упрощаются с помощью метода разложения в ряд, анализ входных воздействий более высоких порядков связан с трудоемкими вычислениями. Аналоговая модель системы осуществляется относительно легко, и с ее помощью не трудно получить результаты быстрее, чем при применении аппроксимации.

Пример. Для иллюстрации метода коррекции импульсной системы найдем цепь, заменяющую приближенно дискретное корректирующее устройство и фиксирующее устройство нулевого порядка для некоторой системы, показанной на рис. 6.24. Точность аппроксимации и ее влияние на поведение системы могут быть проверены теоретически или экспериментально при помощи аналогового устройства

Первый шаг при нахождении аппроксимирующей цепи состоит в вычислении площадей и моментов. В качестве отправной точки рассмотрим импульсную характеристику дискретного корректирующего устройства и фиксирующего устройства нулевого порядка (рис. 6.25) для значения В результате этого находим следующие постоянные:

(кликните для просмотра скана)

которые необходимы для получения приближения цепью второго порядка. Для нахождения параметров цепи второго порядка нормализовано до единицы) необходимо удовлетворить следующие уравнения:

второго порядка и дискретным корректирующим устройством при скачкообразном входном возмущении.

Рис. 6.26. Система рис. 6.24 при ее коррекции цепью второго порядка.

Рис. 6.27. Процессы в системе рис. 6.24 с коррекцией цепью

Из решения этих уравнений находим

Импульсная характеристика этой цепи показана для сравнения на рис. 6.25. Скорректированная система для этого исходного пробного приближения показана на рис. 6.26. Можно найти модифицированное z-преобразование выходной величины, а из разложения в степенной ряд модифицированного z-преобразования выходной величины без труда определим переходный процесс. График этого переходного процесса изображен на рис. 6.27; там же для сравнения приведен процесс при дискретной коррекции. Как видно из рисунка, основное отличие в характере процесса при этом приближении имеет место вблизи установившегося состояния. Это отличие определяется главным образом точностью аппроксимации окончания импульсной характеристики дискретного корректирующего устройства и фиксирующего устройства при как было принято выше при вычислении моментов и площади. Необходимость использования большей части этой импульсной характеристики для определения приближения указывает на целесообразность применения более сложной цепи.

Рис. 6.28. Процесс при входном возмущении в виде единичного импульса для системы рис. 6.24 с корректирующим устройством.

Для нахождения более точной цепи, аппроксимирующей дискретное корректирующее устройство и фиксирующее устройство, вычисляют новые постоянные (площади моментов) для импульсной характеристики, взятой до (рис. 6.28). Эти постоянные равны:

и они определяют значения коэффициентов Для этого нужно воспользоваться системой уравнений (6.101), которая позволяет найти параметры аппроксимирующей цепи до пятого порядка.

Решая эту систему уравнений относительно для аппроксимирующей цепи третьего порядка находим

Для приближения четвертого порядка получаем, как это указано на рис. 6.29, следующую передаточную функцию:

На рис. 6.28 показаны импульсные характеристики для цепей третьего и четвертого порядка и для сравнения — импульсная характеристика дискретного корректирующего устройства и фиксирующего устройства. Отсюда видно, что, чем выше порядок цепи, тем лучше совпадение с дискретным корректирующим устройством.

Рис. 6.29. Система рис. 6.24 с корректирующей цепью четвертого порядка.

Таким образом, этот метод приведет к приближенной аналоговой модели дискретного корректирующего устройства. Существуют и другие методы, которые будут рассмотрены в конце этой главы и в гл. VII.