ГЛАВА VI. МЕТОД НЕПРЕРЫВНОЙ КОРРЕКЦИИ

В предыдущей главе главным образом рассматривалась дискретная коррекция, при которой с корректирующего устройства на объект поступала последовательность импульсов, смещенных по времени на интервалы времени, равные или кратные интервалам повторения. Было показано, что дискретные корректирующие устройства достаточно гибки и позволяют обеспечить любые типы процессов, зависящие от передаточной функции объекта; но этот метод коррекции ограничен тем, что иногда скрытые колебания между моментами съема не могут быть полностью устранены, несмотря на то, что они уменьшаются при использовании многократного регулирующего устройства. Более того, применение дискретных корректирующих устройств может потребовать использования сложного оборудования, как это будет показано в следующей главе, в котором часто нет необходимости для некоторых типов процессов. Таким образом, метод непрерывной коррекции, в котором используется или обычная цепь, или, в более сложных случаях, аналоговая вычислительная машина, в смысле уменьшения скрытых колебаний, может оказаться выгоднее, чем импульсная цепь или цифровое корректирующее устройство. Причина уменьшения скрытых колебаний состоит в том, что выход непрерывного корректирующего устройства поступает на вход объекта, благодаря чему коррекция его выхода производится непрерывно. Методы проектирования непрерывного корректирующего устройства, рассмотренные в настоящей главе, более сложны и громоздки, чем методы, применяемые для проектирования соответствующего дискретного корректирующего устройства, но это не должно являться препятствием для их применения.

6.1. Описание метода

Метод непрерывной коррекции включает в себя использование линейных цепей либо в прямой части, либо в цепи обратной связи замкнутой импульсной системы.

Рассмотрим структуру, изображенную на рис. 6.1. Входной сигнал элемента, обозначенного через в случае использования фиксирующего устройства обычно имеет ступенчатую форму. В других случаях этот сигнал представляет собой последовательность (серию) импульсов. Выходной сигнал элемента непрерывен и непрерывно подается на объект, передаточная функция которого равна

Рис. 6.1. Импульсная система регулирования с непрерывным корректирующим устройством.

Выходной сигнал системы рис. 6.1 непрерывен. Модифицированное -преобразование его равно

Из этого выражения можно видеть, что поведение системы зависит от -преобразования или от модифицированного -преобразования произведения на Тот факт, что -преобразование произведения не равно -преобразованию каждого из этих сомножителей, несколько осложняет задачу синтеза. Однако это затруднение не препятствует эффективному применению методов, разработанных в предыдущей главе.

6.2. Методы синтеза

Как и в случаях дискретной коррекции, существует два основных метода синтеза, а именно: частотные методы и временные методы.

Частотные методы могут быть разделены на приближенные и точные. Те и другие рассматриваются в настоящей главе. Временные методы также разделяются на точные и приближенные, и они тоже рассматриваются здесь. Один из таких методов основан на замене дискретного фильтра с фиксирующим устройством нулевого порядка эквивалентными линейными цепями. Таким образом, временные методы, разработанные в предыдущей главе, легко могут быть применены также и в случае использования метода непрерывной коррекции.

а) Частотный метод, основанный на применении s-плоскости.

Впервые подход к задачам непрерывной коррекции импульсных систем регулирования, основанный на использовании -плоскости, был сделан Линвиллом. Этот метод, который также связан с формулой суммирования Пуассона, в сущности представляет собой приближенный метод, в котором пренебрегают высшими гармоническими составляющими, генерируемыми импульсным элементом (импульсным модулятором), вследствие низкочастотной характеристики регулятора.

Рис. 6.2. Структура импульсной системы регулирования.

Используя идею представления импульсного элемента в виде импульсного модулятора, изображение выходной величины импульсной системы регулирования, показанной на рис. 6.2, можно записать в виде:

Учитывая фильтрующую способность элементов, обладающих передаточными функциями бесконечный ряд в знаменателе уравнения (6.2) можно аппроксимировать несколькими членами при условии, что частота повторения высока. Это эквивалентно тому, что частотная характеристика импульсной системы достаточно близка к характеристике непрерывной системы. На основе этого приближения можно попытаться решить задачу синтеза в -плоскости с применением диаграммы Найквиста в целях определения устойчивости системы. Однако влияние замены полюсов и нулей непрерывного корректирующего устройства трудно оценить ввиду того, что используются только несколько членов бесконечного ряда для

составления окончательной диаграммы. Таким образом, изменения конфигурации диаграммы Найквиста этим методом более сложны, чем изменения конфигурации соответствующей диаграммы Найквиста непрерывной системы. Более того, этим методом нельзя получить точные количественные соотношения между параметрами частотной характеристики и характеристики переходного процесса. Однако в целях быстрой качественной оценки этот метод может в некоторых случаях оказаться полезным. Критерии проектирования, основанные на этом методе, могут быть получены из следующих условий:

1. Поведение системы должно быть удовлетворительным; поэтому частотная характеристика, выражаемая через должна иметь приемлемые амплитудную и фазовую характеристики до частоты

2. Функция должна иметь по возможности резкий излом на частоте для подавления скрытых колебаний, создаваемых импульсным элементом.

Заметим, что этот метод аппроксимации также пригоден, когда частотные характеристики элементов заданы экспериментально. При этом не требуется знания полюсбв и нулей передаточной функции. Однако для правильного проектирования знание передаточных функций звеньев, выраженных через полюсы и нули, очень существенно. Ввиду того что этот метод приближенный, в некоторых случаях степень приближения сомнительна, если только она не согласуется с другими точными методами, т. е. с методом -преобразования.

б) Частотный метод, основанный на применении z-плоскости Физический смысл годографа передаточной функции системы в плоскости состоит в том, что он характеризует установившийся процесс в импульсных системах регулирования при синусоидальных входных воздействиях. Если входное воздействие импульсной системы с жесткой обратной связью представляет собой синусоидальную функцию вида

то установившийся процесс определяется выражением

где представляет собой угол между векторами на -плоскости.

Следовательно, если входное воздействие представляет собой синусоидальную последовательность, огибающая которой и является истинным входным воздействием, то огибающая выходной

последовательности также представляет собой синусоидальную функцию той же самой частоты. Амплитуда и фаза этой огибающей соответственно равны Вследствие этого при изменении аргумента таким образом, что z описывает круг единичного радиуса, годограф общей передаточной функции системы в плоскости определяет связь между огибающей входного воздействия и огибающей выходной величины в установившемся режиме. Выходная величина системы в интервалах между дискретными моментами воздействия входного сигнала существенно зависит от значения передаточной функции

Например, в некоторых системах выходная величина между дискретными моментами воздействия входного сигнала может иметь форму экспоненты, синусоиды и т. д.

Синтез в -плоскости основан на установлении требуемой формы для частотной характеристики введением линейных элементов в цепь обратной связи системы; таким образом, влияние полюсов и нулей выражения на характеристику требует тщательного рассмотрения.

1. Влияние простых полюсов выражения на характеристику Рассмотрим передаточную функцию непрерывной части разомкнутой системы, имеющую простые полюсы и нули, и множитель, соответствующий последовательно соединенному фиксирующему устройству нулевого порядка:

где представляют собой действительные величины, а степень знаменателя выражения, заключенного внутри квадратных скобок, выше, чем степень числителя, по крайней мере на два. Нетрудно показать, что -преобразование, соответствующее выражению (6.5), имеет вид

Первое слагаемое этого выражения соответствует простому полюсу в начале координат в выражении для (исключая передаточную функцию фиксирующего элемента нулевого порядка). Частотный годограф, соответствующий этому слагаемому, при обходе в плоскости

-окружности единичного радиуса представляет собой прямую линию (или окружность бесконечного радиуса). Это слагаемое характерно для импульсных систем, так как, по мере того как период повторения увеличивается, годограф выражения зависит главным образом от этого слагаемого, и, следовательно, оно влияет на устойчивость системы.

Рис. 6.3. Годографы выражения при прохождении z по окружности единичного радиуса -плоскости.

Влияние периода повторения в экспоненциальных множителях других членов несущественно. Первое слагаемое не зависит от дополнительных полюсов и нулей функции следовательно, не зависит от

Годографы, соответствующие другим слагаемым выражения представляют собой окружности, центры которых лежат на действительной оси -плоскости, так как постоянные действительны. Эти окружности изображены на рис. 6.3 и 6.4 для некоторого диапазона значений каждого из переменных параметров.

Складывая векторно соответствующие точки различных окружностей с прямой линией для получения окончательного годографа выражения легко выявить влияние каждого слагаемого выражения а также расположения полюсов и нулей функции на форму этого годографа.

Рис. 6.4. Годографы выражения при прохождении z по окружности единичного радиуса при

Несмотря на то, что, пока по точкам не будет построен годограф выражения нельзя предвидеть точной формы можно установить некоторые свойства, которые имеют существенное влияние на окончательную форму

1. Годограф вблизи точки может быть найден так, как это было указано в гл. I, введением малой полуокружности радиусом вокруг точки и стремлением к нулю. При только первое слагаемое выражения (6.6) существенно; его годограф представляет собой прямую линию или полуокружность бесконечно большого радиуса в правой половине -плоскостн.

2. всегда действительно при как это указывалось в гл. Величину в этой точке нетрудно определить, подставляя в выражение Значение этой величины может быть либо положительным, либо отрицательным в зависимости от параметров системы.

3. Чтобы определить, пересечет ли годограф действительную ось -плоскости в точках, отличных от точки необходимо переписать выражение следующим образом:

где определяются соответствующими значениями из выражения Для получения частотной характеристики величина z должна принимать все значения на окружности единичного радиуса в плоскости следовательно,

Подставляя это в выражение (6.7), получим мнимую часть:

Как было указано раньше, выражение (6.9) равно нулю при или Если константы все отрицательны, то уравнение (6.9) все время остается отрицательным, по мере того как меняется от нуля до те, так как все члены внутри скобок остаются отрицательными и никогда не становятся равными нулю или положительными. В этом случае годограф имеет только одно действительное значение в точке

Очевидно, когда действительные числа имеют произвольный знак, невозможно предсказать точные нули уравнения (6.9), если его не решить относительно для заданных постоянных. Однако мы можем заключить, что если выражение имеет знаменатель степени относительно z, то максимальное число пересечений годографа с действительной осью при равно только

Если период велик по сравнению с постоянными времени линейной системы, можно показать, что годограф будет ограничен одним из двух видов, изображенных на рис. 6.5 и 6.6. Если

же период мал по сравнению с постоянными времени линейной системы, форма кривой будет стремиться к форме кривой которая подробно рассматривается в литературе.

2. Влияние комплексных нулей и полюсов выражения на характеристику Ввиду того что комплексные нули и полюсы в физических системах появляются попарно сопряженно, числа являются также попарно сопряженными; то же самое можно сказать про и и все другие пары нулей и полюсов выражения в уравнении (6.5).

Рис. 6.5. Типичная форма годографа в -плоскости для неустойчивой системы.

Рис. 6.6. Типичная форма годографа в -нлоскости для устойчивой системы.

Функция в этом случае также определяется выражением (6.6), из которого можно сделать следующие важные выводы:

1. Первый член выражения для согласно (6.6) не зависит от комплексных нулей и полюсов, принадлежащих следовательно, годограф, соответствующий этому члену, не зависит от вариаций комплексных нулей и полюсов выражения

2. Второй член выражения для уравнения (6.6) представляет собой геометрическое место точек окружности, центр которой лежит на действительной оси -плоскости. Это является следствием того, что и произведение а также действительные числа ввиду сопряженности нулей и полюсов.

3. Геометрические места точек третьего и четвертого членов выражения (6.6) представляют собой окружности, центры которых не лежат на действительной оси. Векторная сумма этих двух окружностей дает

действительные значения для точек Также каждая пара оставшихся членов выражения в уравнении (6.6) имеет подобные геометрические места точек.

Так как в этом случае замыкание годографа в точке и условия пересечения действительной оси такие же, как для годографа рассмотренного в уравнении (6.6), то кривые приблизительно подобны годографам, представленным на рис. 6.5 и 6.6.

3. Влияние кратных полюсов в начале координат на Пусть задано в нижеследующем виде:

где целочисленный множитель и либо действительные, либо комплексные. Уравнение (6.10) может быть записано в виде

где а числа представляют собой вычеты выражения (6.10) в соответствующих полюсах. Для выполнения -преобразования выражения (6.11) необходимо знать -преобразование для члена Это последнее может быть найдено из таблиц или из уравнения (1.39). Для выяснения существенного изменения характера кривой выражения из уравнения (6.11) необходимо выполнить -преобразование члена, соответствующего 1 так как именно этот член обладает наивысшим показателем степени при z в знаменателе. Легко показать, что первый член -преобразования выражения

равен

Для определения годографа вблизи точки необходимо подставить значение в выражение (6.13). Годограф выражения (6.13) уходит в бесконечность под углом при и под углом когда В точке -преобразование выражения (6.11) имеет действительное значение, как это было показано выше. Наличие в выражении полюсов высоких порядков в точке для импульсных систем регулирования означает, что отсутствует квантованная ошибка

установившегося состояния при подаче на вход системы некоторых определенных функций (входных воздействий). Это было показано в гл. III.

4. Влияние опережающих и запаздывающих цепей на формирование годографа выражения При включении опережающей или запаздывающей цепи для обеспечения требуемой формы непрерывного годографа в непрерывных системах регулирования асимптотические значения годографа обычно не меняются при Влияние таих цепей состоит главным образом в обеспечении требуемой формы между этими частотами. В противоположность этому, влияние включения опережающих или запаздывающих цепей в импульсные системы регулирования состоит в изменении асимптотического значения в точке как следствие этого, видоизменяется и вся форма При некоторых определенных условиях годограф может пересекать действительную ось в одной или двух точках в зависимости от вводимых параметров опережающих или Запаздывающих цепей, а также от параметров системы; система поэтому может оказаться неустойчивой из-за включения опережающих либо запаздывающих цепей. Влияние таких цепей на импульсную систему регулирования любого порядка может быть определено из того влияния, которое эти цепи оказывают на систему второго порядка, содержащую фиксирующее устройство нулевого порядка. Предположим, что

Соответствующее z-преобразование для этого выражения получаем, используя табл. 1.1, в виде

Для проверки того факта, что годограф не пересекает действительной оси -плоскости в точках, отличных от необходимо приравнять мнимую часть выражения (6.15) к нулю. Так как то

Ввиду того что уравнение (6.16) представляет собой уравнение первого порядка относительно существует не более одного значения в интервале которое удовлетворяет этому уравнению. Поэтому годограф заданный уравнением (6.15), может иметь одну из форм, изображенных на рис. 6.5 и 6.6.

Цепь с передаточной функцией где и -Действительные величины, может быть опережающей или запаздывающей

в зависимости от того, или Введение такой типичной цепи в систему, передаточная функция которой определяется уравнением (6.14), видоизменяет передаточную функцию разомкнутой системы так, что она принимает вид

-преобразование выражения (6.17) может быть получено из табл. 1.1:

Для сравнения уравнений (6.18) и (6.15) отметим следующие важные моменты, касающиеся придания требуемой формы годографу

1. Первое слагаемое в уравнении (6.18) то же, что в уравнении (6.15), и это указывает на то, что это слагаемое не зависит от вводимых цепей. Годограф, соответствующий этому слагаемому, представляет собой прямую линию, о чем уже говорилось выше.

2. Второе слагаемое в уравнении (6.18) имеет тот же вид, что и соответствующее слагаемое в уравнении (6.15), за исключением коэффициента, именуемого коэффициентом сокращения, влияние которого состоит в том, что он увеличивает или сводит к нулю годограф в виде окружности в зависимости от величин и В связи с этим важно отметить, что изменяется только величина годографа (6.15), но не его форма.

3. Новое слагаемое добавляется уравнением (6.18), годограф которого представляет собой окружность с центром на действительной оси и радиусом, зависящим от отношения и от Этот новый годограф вводится из-за полюса влияние его состоит в частичной компенсации влияния годографа, соответствующего второму слагаемому. Окончательная форма зависит от отношений варьируя эти значения, можно добиться требуемой формы Несмотря на то, что требуемая форма получается методом повторных попыток, формы ограничены формами, изображенными на рис. 6.5 и 6.6. Вследствие этого достаточно нанести только несколько точек кривой чтобы установить окончательную форму.

Включение цепей с передаточными функциями типа в уравнение (6.17) приведет к добавлению слагаемых в выражение для как это видно из выражения (6.6). Годограф, соответствующий каждому слагаемому, представляет собой окружность, величина и форма которой зависят от параметров цепей. Желаемая окончательная форма рассматривалась в предыдущем разделе.

В качестве примера передаточный годограф, соответствующий уравнению (6.18), вычерчен в -плоскости для следующих значений:

Соответствующие кривые изображены на рис. 6.7. Из этих кривых видно, что, когда опережение, определяемое отношением мало, годограф пересекает действительную ось в двух различных точках.

Рис. 6.7. Годографы систем, приведенных в примере, в плоскости

По мере того как увеличивается опережение, точки пересечения сближаются и сливаются в одну точку при При дальнейшем увеличении опережения точка пересечения приближается к точке и система становится неустойчивой. При введении запаздывания, например, когда система также становится менее устбйчивой, так как годограф пересекает

действительную ось в двух различных точках, одна из которых находится вблизи точки Таким образом, существует определенное значение опережения для данной системы, ниже и выше которого система становится менее устойчивой. Импульсные системы регулирования этого типа, вообще говоря, начинают самовозбуждаться при одной из двух частот для или при значениях меньших, чем для комплексных значений z на единичной окружности. Этот вывод был сделан при рассмотрении корневого годографа в гл. III.