9.10. Периодические импульсные элементы с различными периодами повторения

В этом разделе рассматриваются периодические импульсные элементы, имеющие различные периоды повторения. Предполагается, что длительности импульсов постоянны и не обязательно равны. Запаздывание в импульсных элементах также может быть учтено.

Если входная величина синхронизированного периодического импульсного элемента с периодом повторения сама периодична с периодом, кратным периоду повторения, так что ее изображение равно

где коэффициент целое число, а выражение дробно-рациональная функция от 5, то изображение выходной величины импульсного элемента может быть представлено в виде

Множитель вынесен за знак -преобразования потому, что произведение кратно периоду повторения импульсного элемента.

В системах, имеющих периодические импульсные элементы с разными периодами повторения, появляются выходные величины, изображения которых подобны выражению с той лишь разницей, что период обычно не равен периоду повторения импульсного элемента выходную величину которого желательно найти. Это значительно осложнило бы задачу, если бы отсутствовал способ определения выходной величины как функции только одного периода повторения К счастью, это нетрудно сделать, если можно найти такие два целых числа что справедливо

Следует отметить, что для любых заданных значений периодов повторения всегда можно найти такую пару целых чисел и которые удовлетворяют условию (9.112) с любой желаемой степенью точности. Предпочтительно, но не обязательно, чтобы в качестве выбирался наименьший возможный целочисленный знаменатель.

Чтобы показать, как это делается, рассмотрим функцию вида

или

Подставляя из условия (9.112) значение для периода повторения в выражение (9.114), получаем

Выражение (9.115) может быть разложено на множители, перегруппировано и записано в виде

или

Таким образом,

Подобно этому можно показать, что

где представляют собой положительные целые числа и справедливо соотношение

Выражения (9.118) и (9.119) очень важны для исследования систем, имеющих периодические импульсные элементы с разными периодами повторения. Они могут быть использованы для выражения через значение периода повторения импульсного элемента При этом, как и в предыдущем случае, для нахождения выходной величины импульсного элемента можно использовать табл. 9.3 и 9.4.

Проиллюстрируем этот метод на простом примере. На рис. 9.19 изображена система с двумя импульсными элементами, имеющими

различные периоды повторения Пусть

и

Вначале находим из строки 2 табл. 9.1 в виде

Следовательно,

Рис. 9.19. Система с двумя импульсными элементами, обладающими разными периодами повторения и и длительностями импульсов

Ввиду того что представляет собой изображение входной величины второго импульсного элемента, обладающего периодом повторения отличным от периода повторения первого импульсного элемента то, чтобы иметь возможность использовать табл. 9.3 и 9.4 и упростить результаты, необходимо выразить уравнение (9.123) через Из условия (9.121) очевидно, что

Если использовать соотношение (9.118), то может быть записано так:

Если раскрыть скобки числителя и подставить значения длительности импульса

в уравнение (9.125), то оно примет вид

Теперь, если воспользоваться соотношением а затем из табл. 9.3, можно получить изображение выходной величины второго импульсного элемента в виде

Выражения для -преобразования функций в квадратных скобках могут быть найдены с помощью соотношений 4 и 13 из табл. 9.1. Выражение (9.128) при этом принимает вид

Отсюда изображение выходной величины (и, следовательно, затем сама выходная величина может быть найдено из выражения

Интересно проверить результаты, полученные путем обратного преобразования изображений (9.123) и (9.129), и сравнить их с фактически ожидаемыми результатами.

Непосредственно из соотношения 5 табл. 9.2 находим выходную величину представляющую собой обратное преобразование (9.123). Эта выходная величина может быть представлена в виде

Таблица 9.5 соответствует примерному расчету по уравнению (9.131). Кривая а, изображенная на рис. 9.20, и представляет собой график функции

Аналогично с помощью модифицированного -преобразования или с использованием обычного интеграла обращения Лапласа может быть вычислена функция представляющая собой обратное

Таблица 9.5 (см. скан) Вычисления процесса по выражению (9.131)

преобразование (9.129). Однако для сравнения достаточно определить выражение для лишь на конечном интервале времени.

Рис. 9.20. Кривая а изображает определяемое выражением (9.123) входное воздействие на импульсный элемент как функцию времени в единицах периода повторения кривая изображает согласно выражению (9.129) соответствующую выходную величину импульсного элемента как функцию времени в единицах периода повторения

При этих условиях обычный метод обратного преобразования Лапласа более прост и, следовательно, более целесообразен.

Выражение (9.129) может быть разложено, упрощено и представлено в виде

Тогда для конечного интервала времени выражение может быть записано в виде

Следовательно, функция может быть определена из уравнения (9.133) на конечном интервале Кривая на рис. 9.20 представляет собой вычисленный таким образом график функции Очевидно, что соотношения между функциями удовлетворяют тем требованиям, которые ожидались исходя из физических предпосылок.

Заметим, что если включить в систему, изображенную на рис. 9.19, третий импульсный элемент, то и в этом случае для определения могут быть использованы соотношения (9.89), (9.118) и табл. 9.3. Таким же образом при наличии запаздывания в этих импульсных элементах для нахождения правильного решения можно использовать соответствующие уравнения из табл. 9.4.