1.5. Передаточная функция импульсной системы
Выходная величина линейной системы, изображенной на рис. 1.16, представляет собой непрерывную функцию времени. Однако для упрощения исследования предполагается, что для получения импульсной выходной величины к выходу подключается фиктивный импульсный элемент, синхронизированный со входным импульсным элементом. Это ограничение, требующее, чтобы реакция существовала лишь в моменты съема, будет снято при рассмотрении метода модифицированного 
-преобразования.
Так как система линейна, импульсная выходная величина может быть получена с помощью применения метода суперпозиции следующим образом. Предположим, что импульсная характеристика системы имеет вид, изображенный на рис. 1.17.
Рис. 1.16. Типичная линейная импульсная система.
Рис. 1.17. Типичный процесс на выходе системы, изображенной на рис. 1.16.
Тогда выходная величина в любой момент съема 
получается путем суммирования реакций системы на отдельные импульсы от момента времени, равного нулю, до момента 
Иными словами,
Так как
то
Изменяя порядок суммирования, получаем
Применяя преобразование Лапласа, т. е. 
-преобразование, к уравнению (1.44) и полагая 
получаем
Но
Таким образом,
Исходя из определения 
-преобразования, мы можем уравнение (1.46) переписать так:
или
Следовательно, мы получили передаточную функцию импульсной системы, которая связывает 
-преобразование выходной величины с 
-преобразованием входной величины (рис. 1.18). Она определяется следующим выражением:
где
Уравнение (1.48) может быть получено иным путем при помощи преобразования Лапласа из уравнения
Применяя 
-преобразование к уравнению (1.51), мы получаем
Физически применение 
-преобразования к уравнению (1.51) означает, что выходная величина квантуется по времени, как показано на рис. 1.16. Мы можем также получить преобразованное выражение для квантованной по времени выходной величины, используя соотношение (1.14), в следующем виде:
Так как 
функция периодическая с периодом 
то она равна 
Следовательно, уравнение (1.52) принимает вид
Рис. 1.18. Математическое представление импульсной системы.
