3.4. Приближенные уравнения для величины перерегулирования и времени нарастания

Предположим, что для импульсной системы регулирования, показанной на рис. 3.13, отношение модифицированных -преобразований выходной и входной величин может быть представлено в следующем виде:

где

Рис. 3.13. Замкнутая импульсная система с квантованием ошибки.

При этом предполагается: 1) выражение не имеет кратных корней, 2) порядок выше, чем в как это бывает в реальных системах; 3) корни находятся внутри круга единичного радиуса, т. е. система устойчива. Для скачкообразного входного сигнала

Подставляя уравнение (3.34) в (3.32), получаем

Обратное модифицированное -преобразование имеет вид

где представляет собой контур интегрирования в плоскости z, охватывающий все особые точки подынтегрального выражения в уравнении (3.36). Произведя интегрирование, уравнение (3.36) можно переписать следующим образом:

где

Предположим, что вблизи окружности единичного радиуса существует пара преобладающих полюсов а все остальные полюсы находятся вблизи центра окружности. Тогда, благодаря наличию пары преобладающих полюсов в уравнении (3.37) можно пренебречь всеми членами, за исключением постоянного члена и слагаемого, соответствующего этой паре полюсов. Таким образом,

где

Предположим, что процесс в такой системе имеет вид, изображенный на рис. 3.14 или 3.15. Рис. 3.15 соответствует случаю, когда моменты, в которые процесс достигает максимального значения, не совпадают с моментами съема. В этом случае могут быть найдены с помощью метода, описанного в гл. II.

Получим сначала максимум, совпадающий по времени с моментом съема. Предполагая, что в выражении мы получаем

процесс в моменты съема Для определения момента пру соответствующего максимуму, решим следующее уравнение:

Решение уравнения (3.42) обычно дает нецелочисленное значение Искомое значение пр представляет собой наибольшее целое значение, содержащееся в Значение пру найденное таким образом, может быть подставлено в уравнение (3.39) для получения с

Рис. 3.14. Типичный процесс на выходе системы, когда максимум совпадает с моментом съема.

Рис. 3.15. Типичный процесс на выходе системы, когда максимум оказывается между моментами съема.

Для получения значения ту соответствующего максимуму действительной выходной величины, используется следующее выражение:

Решение уравнения (3.43) дает значение заключенное между нулем и единицей, и время нарастания записывается следующим образом:

Фактический максимум получается, когда в выражение (3.39) подставляются значения пр и Таким образом,

Когда уравнение (3.43) не удовлетворяется при заданных ограничениях, наложенных на ту максимум действительной выходной величины имеет место в момент съема, как показано на рис. 3.14. Таким образом, пр может быть найдено из уравнения (3.42). В выводе, который следует ниже, для простоты предполагается, что решение уравнения (3.42) дает целое значение Однако в случае, когда не

целое число, результаты могут быть легко видоизменены, так как при этом фактическое значение является наибольшим целым числом, содержащимся в

Подставляя выражение (3.39) в уравнение (3.42) при решая его, можно показать, что

Если в уравнении (3.42) пр не целое число, то фактическое значение будет равно

где есть корректирующий член, который делает пра целым числом.

Так как для простоты предполагалось, что — целое число, то значение перерегулирования (первый выброс) получается, если уравнение (3.46) подставить в (3.39), а полученное выражение в (3.45):

Это выражение может быть подвергнуто дальнейшим упрощениям, в результате чего имеем

Точность предположения, которое приводит к двум приближенным соотношениям для может быть легко объяснена. Из общего решения уравнения (3.37) рассматривается определенное простое колебание

При это колебание уменьшается до значений очень малых по сравнению со своим начальным значением, а при больших пр влияние этого простого полюса оказывается незначительным, даже когда значение

велико. Можно показать, что коэффициент

мал, если корень расположен не слишком близко к другим корням. В том случае, когда надо учитывать колебание, величина его в момент пр может быть определена с помощью соответствующего слагаемого в общем уравнении (3.37) и добавлена к результату, полученному из уравнения (3.39), как второе приближение. Уравнение (3.46) может быть переписано в виде

Отсюда можно сделать заключение, что нули уменьшают пр, а дополнительные полюсы увеличивают пр. Кроме того, пр обратно пропорционально 60.

Из уравнения (3.49) видно, что может быть записано в виде произведения следующих двух сомножителей:

Из рассмотрения первого сомножителя видно, что, чем меньше пр) тем больше Таким образом, при выборе пр и приходится идти на компромисс. Для астатической системы первого порядка коэффициент К должен быть таким, чтобы в установившемся состоянии выходной сигнал равнялся входному. Таким образом,

Подставляя выражение для К в уравнение (3.49), получаем:

В уравнении (3.46) пр может быть записано следующим образом:

где величины, показанные на рис. 3.16. Подставляя выражение для пр в уравнение (3.54), получаем

где представляют собой расстояния между точками, изображенными на рис. 3.16.

Рис. 3.16. Расположение преобладающих полюсов в плоскости z.

Рис. 3.17. Третий корень близок к центру единичной окружности в плоскости z.

Рассматривая влияние действительных полюсов на можно заметить из рис. 3.17, что если полюс расположен рядом с центром круга единичного радиуса, то величина близка к единице, и влияние полюса, расположенного таким образом, как на так и на пр незначительно. Напротив, если полюс расположен, как показано на рис. 3.18, то и значительно увеличивается. Таким образом, можно сделать заключение, что если полюсы совпадают, то реакция будет в высокой степени колебательной. Наконец, если полюс расположен, как показано на рис. 3.19, то и уменьшается по сравнению со случаем, изображенным на рис. 3.18. Аналогичные выводы могут быть сделаны в случае, когда дополнительные полюсы, расположенные внутри круга единичного радиуса, комплексные.

Влияние нулей на может быть выявлено из рассмотрения второй скобки уравнения (3.54). Видно, что для случая, когда нуль

расположен, как показано на рис. 3.20, 1 и величина мала. Влияние нулей как на так и на пр мало.

Рис. 3.18. .

Рис. 3.19. .

Напротив, когда нуль расположен вблизи точки и очень сильно возрастает. Таким образом, нуль, расположенный вблизи точки оказывается нежелательным.

Рис. 3.20.

Рис. 3.21. Нуль расположен вне единичной окружности.

Однако если нуль расположен вне круга единичного радиуса, как показано на рис. 3.21, то увеличивается сколько-нибудь значительно.

В заключение необходимо отметить, что действительные и комплексные полюсы могут быть расположены в любой точке внутри круга единичного радиуса, в то время как нули общей передаточной функции могут быть расположены где угодно внутри или вне круга единичного радиуса.