2.5. Введение в метод модифицированного z-преобразования

В главе I было показано, что метод -преобразования может быть применен для анализа импульсных систем регулирования. Анализ, основанный на этом методе, позволяет нам находить процесс в системе лишь в моменты съема. Но его можно видоизменить таким образом, что оказывается возможным определять реакцию системы в любой момент времени. Такой метод называется методом модифицированного -преобразования. В дальнейшем в этой главе будет показано, что -преобразование является лишь частным случаем общего метода модифицированного -преобразования.

Таким образом, применение метода модифицированного z-преобразования для анализа импульсных систем регулирования аналогично применению обычного преобразования Лапласа для исследования непрерывных систем регулирования.

Модифицированное z-преобразование импульсной передаточной функции

Так как выходная величина импульсной системы является непрерывной, в то время как входная величина квантована по времени, то можно получить передаточную функцию в виде соотношения, связывающего преобразованное выражение для непрерывной выходной величины с действительной входной величиной. Рассмотрим импульсную систему, изображенную на рис. 2.8. Если выходная величина

рассматривается лишь в моменты съема, то к выходу системы подключается условный импульсный элемент, синхронизированный с действительным входным импульсным элементом, как показано на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Импульсная система с условным запаздыванием.

На основе такого анализа -преобразование передаточной функции получается в виде следующего выражения:

Эта передаточная функция связывает импульсную выходную величину с импульсной входной величиной. В действительности выходная величина является непрерывной, как показано на рис. 2.9, и z-преобразование выражения для выходной величины определяет ее значения только в моменты съема. Однако для того, чтобы определить величину на выходе системы в любой момент времени, можно включить фиктивное запаздывание (обозначенное на рис. 2.8 и 2.9 через При изменении значения этого фиктивного запаздывания от нуля до величины периода повторения могут быть получены значения выходной величины в любой момент времени.

Рис. 2.9. Выходная величина при отсутствии и при включенном условном запаздывании в системе, показанной на рис. 2.8.

Используя это понятие фиктивного запаздывания, которое далее считается отрицательным, но которое может также принимать и положительные значения, мы можем записать новую передаточную функцию, являющуюся функцией от и запаздывания А, в таком виде:

где

Уравнение (2.20) на основании теоремы умножения в действительной области может быть преобразовано следующим образом:

Интеграл в уравнении (2.22) можно вычислить, выбирая контур интегрирования либо в правой, либо в левой части комплексной плоскости как показано на рис. 1.8 и 1.15. Однако для того, чтобы убедиться в сходимости интеграла на полуокружности бесконечно большого радиуса, предварительно необходимо произвести замену переменных так, чтобы величина интеграла на полуокружности бесконечно большого радиуса стремилась к нулю. Обозначим

Тогда уравнение (2.22) принимает вид

так как

Произведя интегрирование в левой части комплексной плоскости, как показано на рис. 1.15, получаем модифицированное z-преобразование для

Если в уравнении (2.26) стремится к единице, получаем обычное -преобразование. В случае разрывной импульсной характеристики обратное преобразование этой величины определяет процесс, соответствующий нижним значениям в точках разрыва, т. е. в точках Пусть, кроме того, уравнение (2.26)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

умножено на При этом мы снова получаем обычное -преобразование, и его обратное преобразование определяет нам процесс в моменты съема. При наличии разрывов в характеристике это обратное преобразование определяет процесс, соответствующий верхним значениям в точках разрыва, т. е. в точках

Вообще говоря, если импульсная характеристика системы непрерывна, то справедливо следующее соотношение:

Таким образом, очевидно, что -преобразование является частным случаем модифицированного -преобразования и для всех типов характеристик получается из следующего соотношения:

Пример. Предположим, что в системе, изображенной на рис. 2.8, имеет вид

-преобразование выражения (2.29) записывается следующим образом:

Модифицированное -преобразование может быть получено из выражения (2.26а). Оно имеет вид

Так как импульсная характеристика, соответствующая разрывна, то -преобразование может быть получено из модифицированного z-преобразования с помощью соотношения (2.26). Оно имеет вид

что совпадает с (2.30). Однако, полагая в выражении мы получаем результат, отличный от результата, полученного с помощью обычного -преобразования.

В табл. 2.1 приведен обширный список модифицированных -преобразований различных видов С помощью этой таблицы можно также получать -преобразования, используя соотношение (2.28).

Вычисляя правую часть уравнения (2.25) с помощью интегрирования в правой части плоскости которая охватывает все особые точки выражения получаем другое выражение для модифицированного -преобразования в виде бесконечного ряда:

Это соотношение может быть успешно применено в статистическом анализе импульсных систем.