9.1. Метод анализа с применением z-преобразования

Пусть дан идеальный периодический импульсный элемент, работающий с периодом повторения и замыкающий цепь на время, равное как это изображено на рис. 9.1. Для определения соотношения между изображениями входного и выходного сигналов импульсного элемента воспользуемся следующим подходом.

Пусть функция изображенная на рис. 9.2; а, представляет собой произвольный сигнал на входе импульсного элемента; соответствующий сигнал на выходе идеального периодического импульсного элемента изображен как функция времени на рис. 9.2, в. Очевидно, что функцию можно получить умножением входного сигнала на некоторую функцию времени изображенную на рис. Она определяется следующими соотношениями:

Рис. 9.1. Идеальный импульчный элемент длительность замыкания

Рис. 9.2. а) Входное воздействие на импульсный элемент; б) единичная импульсная функция; в) выходная величина импульсного элемента, полученная умножением входного воздействия на единичную импульсную функцию.

Из рис. 9.2 видно, что при умножении функции на единичную импульсную функцию получается функция времени которая представляет сигнал на выходе импульсного элемента. Таким образом, можно рассматривать импульсный элемент как некоторое множительное устройство, в котором входной сигнал непрерывно умножается на единичную импульсную функцию Следовательно, соотношение между сигналами из

входе и на выходе как функция времени может быть записано в виде

Изображение, соответствующее выражению (9.2), может быть найдено на основе теоремы свертки в комплексной области и имеет следующий вид:

где

Подставляя выражения (9.3а) и (9.4) в выражение (9.3), получаем

Для вычисления интеграла в пределах от до контур интегрирования может быть выбран либо в правой, либо в левой полуплоскости комплексной плоскости

Вычисляя интеграл по контуру, расположенному в левой полуплоскости, в которой находятся все полюсы выражения как это изображено на рис. 9.3, на основании выражения (9.5) будем иметь

где

Уравнение (9.6) представляет собой изображение выходной величины импульсного элемента, выраженное через изображение входной величины. Следовательно, импульсный элемент можно рассматривать как оператор в плоскости который преобразует в соответствии с выражением (9.6) изображение сигнала на входе в изображение сигнала на выходе Эта операция называется -преобразованием, и мы ее обозначим следующим образом:

Для обратного преобразования примем обозначение

Из предыдущих выражений очевидно, что -преобразование представляет собой всего навсего частный вид преобразования Лапласа.

Рис. 9.3. Контур интегрирования в левой полуплоскости комплексного переменного

Выражение (9.6) может быть представлено в виде суммы вычетов, если не имеет точек разветвления, а состоит только из полюсов и нулей.

Предположим, что

где и представляют собой полиномы по тогда может быть выражено в виде

В том случае, когда имеет только простые полюсы, выражение для упрощается и принимает вид

где

представляют собой простые корни уравнения

Из выражений (9.11) и (9.12) видно, что -преобразование входной функции зависит от и оно представлено в замкнутой форме, так как представляет собой сумму конечного числа слагаемых.

Изображение выходной величины импульсной системы с конечным временем съема данных, изображенной на рис. 9.4, может быть найдено на основе обычного преобразования Лапласа:

Рис. 9.4. Импульсная система с конечным временем съема данных.

В табл. 9.1 (стр. 322) приведены -преобразования различных функций от

Рис. 9.5. Контур интегрирования в правой полуплоскости комплексного переменного

Если применять разложение на простые дроби, то эта таблица может быть использована для определения -преобразования большинства встречаемых функций.

С другой стороны, если вычисление ведется интегрированием по контуру, расположенному в правой части -плоскости, как

(см. скан)

(см. скан)

это изображено на рис. 9.5, то можно записать

и, следовательно,

Эта дробь имеет простые полюсы в точках

Пусть Тогда

Рис. 9.6. Частотный спектр выходной величины импульсного элемента с конечным временем съема данных.

На рис. 9.6 показана зависимость амплитуды дополнительных частотных составляющих на выходе импульсного элемента при

различных значениях По мере увеличения аргумента дополнительные частотные составляющие уменьшаются по модулю. Следовательно, снижаются требования к фильтрации этих составляющих на выходе импульсного элемента.

Нетрудно показать, что при выражение принимает

При импульсная функция, изображенная на рис. 9.2, в, стремится к единичным мгновенным импульсам и выражение для принимает вид