1.10. Обратное z-преобразование (формула обращения)

Фактическое значение выходной величины с в моменты съема может быть получено из ее -преобразования двумя способами: а) методом вычетов, б) методом разложения в степенной ряд.

а) Метод вычетов. Как видно из уравнения (1.22), -преобразование выходной величины любой импульсной системы может быть записано следующим образом:

Коэффициенты этого ряда представляют собой значения выходной величины в дискретные моменты времени. Таким образом, с может быть найдено с помощью определения этих коэффициентов. Один из

методов нахождения коэффициентов по известному изображению с заключается в следующем. Значение равно вычету в бесконечно удаленной точке со знаком минус. Таким образом, с может быть найдено вычислением контурного интеграла

где есть замкнутый контур, заключающий в себе особые точки но не содержащий бесконечно удаленной точки, причем интегрирование ведется в направлении против часовой стрелки. Умножение обеих частей уравнения (1.87) на не изменяет области сходимости ряда. Таким образом, может быть найдено по формуле

так как есть вычет в бесконечно удаленной точке. Если не имеет нуля в точке то будет иметь полюс в начале координат и, следовательно, контур должен охватывать начало координат и полюсы

Рис. 1.26. Путь интегрирования в плоскости z.

Аналогичным образом все остальные коэффициенты могут быть найдены умножением на положительные степени z и нахождением вычета произведения в бесконечно удаленной точке. Умножение уравнения (1.87) на увеличивает порядок особых точек в бесконечности на Функция тем не менее остается аналитической вне контура за исключением бесконечно удаленной точки, и, следовательно, может быть найдено для всех неотрицательных значений вычислением интеграла

Контур интегрирования в плоскости z, охватывающий особые точки изображен на рис. 1.26.

Уравнение (1.90) представляет собой выражение для обратного -преобразования, так как с определяется значениями

интеграла (1.90) для всех неотрицательных Действительная выходная величина представляется следующим образом:

Контурный интеграл в уравнении (1.90) может быть вычислен с помощью формулы Коши

Рассмотрим несколько случаев применения формулы обращения.

1. Полюсы простые. Предположим, что

Если имеет лишь простые корни, то вычет в простой особой точке а определяется выражением

2. Полюсы заданы не в форме сомножителей. Вычет в особой точке равен

где и а есть особая точка

Пример.

полюсы имеем в точках:

3. имеет кратные полюсы. Вычет в полюсе порядка равен

Пример.

Особыми точками подынтегрального выражения на плоскости z являются: а) простой полюс в точке и б) кратный корень в точке Из 1 и 3 следует

Обратное -преобразование определяется выражением и поэтому представление выходной величины как функции времени имеет вид

В таблице 1.1 приведены значения для различных Эта таблица была вычислена в соответствии с правилами, приведенными в этом параграфе.

б) Метод степенных рядов. Значение может быть также получено в виде коэффициента при разложения в степенной ряд по степеням Из уравнения (1.22) можно заметить, что может быть записано следующим образом:

поэтому, выполняя почленно обратное преобразование, можно получить выражение для выходной величины в виде

Тот факт, что обратное -преобразование выходной величины может быть получено разложением в ряд, имеет существенное значение в большом числе случаев, так как позволяет избежать вычисления полюсов.

Значения выходной величины кроме того, могут быть получены из выражений

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Если представлено в виде отношения двух полиномов от то коэффициенты могут быть найдены из следующих соотношений:

Из записанных равенств видно, что если можно представить в виде (1.109), то значения выходной величины могут быть получены с помощью простого деления числителя на его знаменатель. Коэффициенты выражения для выходного сигнала в общем виде могут быть получены из приложения в конце книги, если там положить — 0.

в) Теоремы.

1. Теорема о начальном значении. Из выражения (1.104) очевидно, что начальное значение выходной величины с определяется соотношением

2. Теорема оконечном значении, z-преобразование импульсной функции может быть записано, на основании уравнения (1.87), в виде

Используя теорему смещения, получаем из этого уравнения

или

Далее, z-преобразование первой разности может быть записано следующим образом:

Используя уравнения (1.114) и (1.116), получаем выражение -преобразования первой разности:

Это уравнение полезно для определения точек максимума и минимума переходного процесса и для решения разностных уравнений методом z-преобразования.

Заметим, что при правая часть уравнения (1.117) может быть переписана в виде

Полагая затем будем иметь Следовательно, на основании уравнений (1.118) и (1.119) теорема о конечном значении может быть записана в виде

3. Максимумы и минимумы. Максимум или минимум функции может быть найден из условия, что первая разность меняет знак. Это условие может быть найдено аналитически, если рассматривать дискретную переменную как непрерывную. Прежде всего решается уравнение

Решение этого уравнения обычно дает не целочисленное значение Однако фактическое значение для максимума, которое должно быть целым числом, является верхним целым числом для значения, полученного из решения уравнения (1.112).

Если начальное значение функции равно нулю, то на основании уравнения (1.118)

или

и точки максимума или минимума могут быть получены, если

сначала найти нули или нули последнего интеграла, которые находятся из условия равенства его нулю:

4. Комплексное смещение. Теорема о комплексном смещении может быть легко получена, если исходить из определения -преобразования. Согласно этой теореме

где

Действительно,

но

и, следовательно,

5. Дифференцирование по второй независимой переменной. Теорема дифференцирования, записанная ниже, может быть получена на основании определения -преобразования:

В самом деле,

6. Предельное значение по второй независимой переменной. Теорема о предельном значении, приведенная ниже, часто применяется при расчете импульсных систем и поэтому играет важную роль:

где

7. Интегрирование по второй независимой переменной. Теорема интегрирования может оказаться полезной при оценке среднеквадратичной ошибки замкнутых импульсных систем, как это показано в гл. V.

где

8. Теорема об изменении масштаба времени. Если заменено на

то z-преобразование относительно периода повторения а получается из -преобразования относительно периода заменой на т. е.

где а — действительный масштабный коэффициент.