2.15. Исследование импульсных систем с чистым запаздыванием

Метод модифицированного -преобразования легко может быть применен для получения процесса в импульсной системе регулирования с чистым запаздыванием. Рассмотрим сначала систему с транспортным запаздыванием, изображенную на рис. 2.19.

Рис. 2.19. Замкнутая импульсная система с чистым запаздыванием в прямой цепи.

Модифицированное -преобразование выходной величины определяется следующим соотношением:

где

1. Для случая, когда запаздывание выражается целым числом, т. е. целое число, справедливы следующие соотношения:

Выходная величина с определяется следующим интегралом:

2. Если запаздывание меньше одного интервала повторения т. е.

то

Для того чтобы получить модифицированное -преобразование уравнения (2.195а), рассмотрим следующее обобщенное определение модифицированного -преобразования:

где

Следует отметить, что при получаем процесс в моменты съема. Кроме того, уравнение (2.196) может быть записано через следующим образом:

Это выражение совпадает с модифицированным z-преобразованием Таким образом, если воспользоваться обозначением то очевидно, что может быть записано в виде

Выходная величина в этом случае определяется выражением

Процесс в моменты съема получается при Можно заметить, что на основании обобщенного определения модифицированного -преобразования можно использовать таблицы (модифицированного -преобразования для для получения

Рис. 2.20. Замкнутая импульсная система с чистым запаздыванием в прямой цени и в цепи обратной связи.

3. Аналогично для случая, когда 8 — не целое число, большее единицы,

и выходная величина равна

4. Более общий случай, когда запаздывание включено как в прямой цепи, так и в цепи обратной связи, изображен на рис. 2.20. При этом

где и I — целые числа и Изображение выходной величины записывается следующим образом:

где

(в том случае, когда больше единицы, целое число единиц может быть включено в при этом остаток представляет собой не целое число). Кроме (2.204), имеем еще

Обратное модифицированное -преобразование выходной величины записывается в виде

Процесс в моменты съема получается из этого выражения при условии, что

Рис. 2.21. Замкнутая импульсная система для иллюстрирующего примера.

Пример. Рассмотрим систему с чистым запаздыванием, изображенную на рис. 2.21, в которой заданы следующие величины:

Из таблиц определяем

-преобразование, соответствующее записывается следующим образом:

Модифицированное -преобразование выходной величины при ступенчатом входном сигнале дается выражением

Сама выходная величина равна

Вычисление этого интеграла с помощью метода вычетов приводит к следующему результату:

Рис. 2.22. Процесс на выходе системы, изображенной на рис. 2.21.

График этой функции приведен на рис. 2.22. с может быть также получено с помощью метода степенных рядов, при котором удается избежать вычисления полюсов