1.12. Аналитическая проверка устойчивости

Импульсная система устойчива, если все корни уравнения системы называемого характеристическим, лежат внутри круга единичного радиуса Проверка расположения нулей полиномов может быть произведена с помощью критерия Шура-Кона, который формулируется следующим образом.

Если для полинома

все определители

где величина, сопряженная с отличны от нуля, то не имеет нулей на окружности единичного радиуса и число нулей внутри этого круга равно числу перемен знака в последовательности определителей.

Для того чтобы импульсная система была устойчивой, все корни характеристического уравнения должны лежать внутри круга единичного радиуса. Это означает, что число перемен знака в последовательности определителей должно быть равно где степень характеристического уравнения.

Итак, критерий устойчивости может быть сформулирован следующим образом:

Например, в случае квадратичного полинома для последовательности должны выполняться следующие неравенства:

указывающие на то, что для того, чтобы два корня

характеристического уравнения лежали внутри круга единичного радиуса, необходимы две перемены знака.

В этом примере соответственно равны:

Условия устойчивости могут быть выражены через коэффициенты характеристического уравнения

следующим образом:

Аналогично для системы третьего порядка, получаются следующие определители:

Система устойчива, если выполняются следующие условия:

т. е. для того, чтобы три корня характеристического уравнения находились внутри круга единичного радиуса, необходимы три перемены знака.

Для систем более высокого порядка аналогичным образом могут быть получены соотношения, требующие вычисления определителей более высокого порядка. Однако существует более практичный метод проверки устойчивости, который позволяет избежать вычисления определителей высокого порядка.

Если отобразить замкнутую область на область некоторой вспомогательной плоскости то условия устойчивости оказываются в точности совпадающими с критерием Гурвица. Билинейное преобразование

представляет собой простейшее возможное отображение круга единичного радиуса на левую половину плоскости Таким образом, полином степени от преобразуется в отношение полиномов степени от и распределение нулей полинома числителя в этом отношении определяет устойчивость системы.

Пусть характеристическое уравнение системы в плоскости z

Отображенные на плоскость с помощью преобразования (1.158) нули функции (1.159) являются корнями уравнения

Зависимость между коэффициентами имеет следующий вид

где

и

Для системы второго порядка, характеристическое уравнение которой имеет вид

постоянные равны:

Применяя критерий Гурвица, условия устойчивости получаем в виде

Таким образом, условия устойчивости записываются следующим образом:

Для системы третьего порядка, характеристическое уравнение имеет вид

Условия устойчивости записываются следующим образом:

Для системы четвертого порядка, коэффициенты определителя Гурвица равны:

Условия устойчивости могут быть записаны следующим образом:

Для системы пятого порядка, коэффициенты равны:

Обозначим

Тогда условия устойчивости записываются следующим образом:

Более компактная запись условий устойчивости приведена в приложении к гл. I.