9.12. Предельные случаи в многократных системах

Рассмотрим разомкнутую импульсную систему с одним периодическим импульсным элементом. Пусть изображение входного воздействия импульсного элемента. Тогда изображение выходной величины может быть представлено в виде

где

Интересно определить пределы при стремлении длительности импульса к некоторым предельным значениям.

Как было отмечено в начале настоящей главы, существует четыре возможных предельных случая, которые могут возникнуть в такой системе. Однако здесь нас интересуют два случая, а именно:

1. Предел при приближении длительности импульса к периоду повторения импульсного элемента

2. Предел при стремлении длительности импульса к такой малой величине, что единичная импульсная функция (см. рис. 9.16, в) может быть заменена единичной импульсной функцией, имеющей бесконечную амплитуду, нулевую длительность импульса и площадь, равную единице.

Ранее было показано, что для первого случая предельное значение равно

что соответствует преобразованию Лапласа для непрерывной выходной величины; этот результат следовало ожидать из физических соображений. Также было показано, что во втором случае справедливо соотношение

где К представляет собой амплитуду единичной импульсной функции является z-преобразованием функции Следовательно, в пределе

Этот результат также известен и используется в импульсных системах, если длительность импульсов крайне мала.

Разумеется, эти предельные случаи, конечно, также справедливы для многократных импульсных систем. Однако в этих системах не всегда возможно вычислить предельные выражения непосредственно из -преобразования изображения выходной величины. Например, для системы, изображенной на рис. 9,19, не всегда возможно установить, что

Причину этого легче понять, если мы вспомним, что структура выражения зависит от того, является ли длительность импульса больше или меньше длительности импульса т. е. или Если изображение определено исходя из предположений, что то ни при каких условиях нельзя допустить, чтобы длительность импульса принимала значения меньшие, чем длительность импульса Однако возможно, что начальные значения параметров некоторых систем таковы, что но предельные условия требуют, чтобы было меньше, чем т. е. При этих условиях возникает некоторое затруднение, которое не позволяет получить предельное выражение непосредственно из -преобразования выходной величины. Ввиду этого более удобно находить предельные выражения непосредственно из уравнений системы после введения желаемых пределов в соответствующие параметры импульсных элементов. Для иллюстрации этого выведем следующие предельные выражения для системы, изображенной на рис. 9.19:

1. Предел при стремлении

2. Предел при стремлении

3. Предел при стремлении

Случай 1. При стремлении импульсные элементы могут быть заменены линией, соответствующей непосредственной связи между элементами. Нетрудно заметить на рис. 9.19, что при этих условиях справедливо выражение

которое представляет собой преобразование Лапласа выходной величины непрерывной системы.

Случай 2. При этих условиях изображение выходного сигнала имеет вид

где через обозначено -преобразование при Обратная временная функция для такой системы может быть определена с помощью таблиц обратных -преобразований или модифицированных -преобразований в замкнутой (конечной) форме, а также в виде непрерывной функции времени.

Случай 3. При этих условиях выходная величина может быть записана в виде

и

где

Так как периоды повторения не равны друг другу, то для определения следовательно, выходной величины следует воспользоваться соотношением (9.118), позволяющим выразить (9.149) через период повторения Чтобы показать это, найдем правильное выражение для выходной величины через параметры системы, определяемые уравнениями (9.120) и (9.121). Поскольку выражение представляет собой -преобразование выражения то оно может быть найдено из выражения (9.122) и имеет вид

Следовательно,

Теперь необходимо определить с периодом повторения Это нетрудно выполнить, если выразить выражение (9.153) через Из уравнения (9.124) найдем отношение

Используя соотношения (9.118), можно записать так

Знаменатель может быть разложен на множители, и, следовательно, выражение принимает вид

-преобразования выражений, стоящих в скобках, могут быть найдены, если перейти к пределам в соотношениях 3 и 16 табл. 9.1, а именно:

Аналогично этому найдем

Подставляя в (9.155) выражения (9.156) и (9.157), найдем в виде

Поэтому непрерывная выходная величина может быть записана так:

-преобразование выходной величины системы в этом случае имеет вид

Выражение, обратное (9.159), представляет собой выражение для выходной величины в виде непрерывной функции времени. Это выражение может быть найдено из таблиц обратных -преобразований

или при помощи метода модифицированного -преобразования, как это было рассмотрено в гл. И.

Выражение, обратное (9.160), представляет собой значения функции времени в моменты Это выражение можно найти из таблиц обратных -преобразований или из обратного интеграла в области z.