ГЛАВА VIII. ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ

Применение модифицированного -преобразования к импульсным системам автоматического регулирования позволяет найти процесс в системе, не определяя корней характеристических уравнений. Именно это свойство метода и делает анализ импульсных систем проще анализа соответствующих непрерывных систем. Метод нахождения процесса при помощи степенного ряда легко можно использовать для нахождения основных показателей процесса устойчивой импульсной системы автоматического регулирования.

Чтобы применить численные способы, разработанные для модифицированного -преобразования, к непрерывным системам автоматического регулирования, в последних специально вводятся фиктивные импульсные элементы и фиксирующее устройство либо в цепи обратной связи, либо в прямой цепи. Этим приемом, в сущности, производится аппроксимация линейного дифференциального уравнения, описывающего непрерывную выходную величину, соответствующим линейным разностным уравнением. В литературе существует несколько методов такой аппроксимации, хорошо известных из численного анализа. В этой главе будет показано, что метод -преобразования представляет собой один из приемов, используемых при таком приближенном анализе непрерывных систем автоматического регулирования. Будут детально рассмотрены фиктивные импульсные элементы, фиксирующее устройство и их функции, а также приведены в общих чертах способы оценки погрешностей аппроксимации. Этот подход применим к линейным замкнутым системам автоматического регулирования как с запаздыванием, так и без него и может быть распространен на нелинейные системы и системы с переменными параметрами.

8.1. Приближенные системы

Математическое представление замкнутой системы автоматического регулирования соответствующей импульсной системой нагляднее всего уяснить, сравнивая системы, изображенные на рис. 8.1. и рис. 8.2.

Отметим, что система на рис. 8.2 представляет собой импульсную систему автоматического регулирования, и поэтому к ней непосредственно применимы -преобразование и модифицированное -преобразование, подробно рассмотренные в предыдущих главах.

Рис. 8.1. Непрерывная замкнутая система автоматического регулирования.

Модифицированное -преобразование выходной величины системы рис. 8.2 может быть записано в виде

Приближенное значение выходной величины может быть найдено методом разложения в степенной ряд, описанным в гл. II. При этом нет необходимости нахождения корней уравнения (система, естественно, предполагается устойчивой).

Рис. 8.2. Импульсная система с фиктивным (математическим) импульсным элементом и фиксирующим устройством являющаяся приближением системы рис. 8.1.

Выходная величина представляет собой аппроксимацию действительной выходной величины точное знание которой требует вычисления интеграла

Для того чтобы вычислить этот интеграл, нужно предварительно найти корни уравнения что связано с утомительными вычислениями, если система имеет высокий порядок.

Ошибка между действительной и приближенной выходными величинами зависит главным образом от следующих трех факторов:

1) от расположения фиктивного импульсного элемента;

2) от частоты повторения;

3) от структуры фиктивного фиксирующего устройства.