8.6. Метод анализа, основанный на применении z-формы и модифицированной z-формы

В предыдущем разделе было показано, как применить метод модифицированного -преобразования для приближенного анализа непрерывных замкнутых систем. Было показано, что для нахождения модифицированного -преобразования выходной величины, как видно из уравнения (8.1), необходимо сначала определить -преобразование и модифицированное -преобразование элементов разомкнутой системы. Для этого предварительно необходимо вычислить полюсы передаточной функции этих элементов, что может оказаться очень трудоемким, если задана только их частотная характеристика. Поэтому Боксером и Талером были предложены приближенные выражения для нахождения -преобразования и модифицированного -преобразования. Эти приближенные выражения не требуют вычисления полюсов разомкнутой системы и называются z-формой и модифицированной -формой. Они получены на основании следующих рассуждений.

а) Соотношения для -форм. Обратное преобразование Лапласа для рациональной функции от 5 определяется интегралом

Для простоты с предполагается равным нулю (это значит, что все полюсы выражения лежат в левой полуплоскости). Тогда интегрирование может быть осуществлено вдоль мнимой оси в -плоскости, как это показано на рис. 8.6.

Выражение (8.7) может быть представлено в виде суммы следующих интегралов:

Если выбрать достаточно малым, то

Ошибка определяется следующим интегралом:

Заметим, что ошибка становится равной нулю при Положим в уравнении Тогда

Так как то уравнение (8.11) принимает вид

Рис. 8.6. Путь интегрирования в -плоскости.

Контур интегрирования представляет собой единичную окружность в -плоскости. Функция является трансцендентным выражением относительно z. Приближенное рациональное выражение для можно представить в виде

откуда

где

или

Выражение называется -формой от

Сохраняя только главную часть и постоянный член ряда Лорана выражения (8.14), можно составить таблицу -форм (табл. 8.1).

Таблица 8.1 (см. скан)

z-формы

Если то получаются подобные соотношения, в которых z равно

б) Модифицированные z-формы. Приближенные соотношения могут быть получены для модифицированных -преобразований подобно тому, как мы это делали для -форм. Эти соотношения называются модифицированными -формами. Предположим, что изображение некоторой непрерывной функции имеет вид

Если это выражение умножить на то обратное преобразование Лапласа будет равно Изменяя в интервале от нуля до единицы, получим приближенные значения процесса между моментами съема, если аппроксимирована, как и раньше, функцией

Для применения полученных выше соотношений нужно выражение (8.17) представить в виде

Умножим числитель (8.18) на разложение в ряд Тейлора функции т. е. на

Если каждый член числителя в (8.18) умножить на этот ряд и сохранить члены, которые определяют только главную часть и постоянный член, то получим

Подставляя сюда -формы для полученные выше, найдем модифицированные -формы. Эти модифицированные -формы приведены в табл. 8.2.

Таблица 8.2 (см. скан) Модифицированные -формы

При модифицированные -формы переходят в -формы. Точность вычисления улучшается, если изменяется в диапазоне

Применение модифицированной -формы для построения процесса сводится к следующему:

1. Слагаемые числителя изображения заменяем на модифицированные -формы.

2. Слагаемые знаменателя изображения заменяем на -формы.

3. Делим полученное отношение полиномов относительно на Для нахождения процесса необходимо разделить числитель на знаменатель, выбрав предварительно определенное значение